דף הבית אודות תלמה גביש מאמרים סרטונים ביבליוגרפיה ספרים מומלצים צור קשר
פרופ' ראובן פוירשטיין ז"ל קבע קריטריונים להערכת התהליך התיווכי. קריטריונים אלה עשויים לסייע בהערכת ההוראה והלמידה במתימטיקה.

הקריטריונים של התהליך התיווכי יש אחד עשר מאפיינים של למידה מתווכת. 1. כוונה והדדיות. 2. טרנסצנדנטיות. 3. תיווך של משמעות. 4. תיווך של תחושת מסוגלות. 5. תיווך של וויסות ופיקוח על ההתנהגות. 6. תיווך של התנהגות משתפת. 7. תיווך של אינדיבידואצייה ואיבחוניות (דיפרנציאצייה) פסיכולוגית. 8. תיווך של חיפוש אחר מטרות, קביעתן, תכנון והתנהגות של הישג. 9. תיווך של התמודדות עם אתגר, חיפוש אחרי החדש והמורכב. 10. תיווך של מודעות של האדם כיישות משתנה. 11. תיווך של חלופה אופטימית. שלושת המדדים הראשונים הכרחיים לכל אינטראקצייה תיווכית. יתר המדדים הם תלויי מצב ותרבות. 1. כוונה והדדיות כוונתו של המתווך לתווך מנווטת את המהלך כולו. המתווך, המעוניין שמקבל התיווך יקלוט את מסריו, יארגן את הגירויים כך שיהיו קליטים על ידי החניך. הוא ידאג לעורר את תשומת ליבו של חניכו ויבטיח שהוא יתרכז ויעקוב אחר הגירוי שנבחר. בהוראת החשבון, כמו גם בהוראת המיקצועות האחרים, ההתכוונות וההדדיות יתרחשו כאשר תתרחש אינטראקצייה ישירה בין תלמיד למורה. למשל, על ידי שאלות המופנות אישית לתלמיד מסויים. המורה יכול להתאים את טיב השאלה לאופיו של התלמיד. תלמיד מיתקשה יקבל הנחייה אישית באמצעות שאלה שתופנה אליו ותאפשר לו להצטרף למעגל המבינים. לעומתו, אל תלמיד מצטיין תופנה שאלה ברמה שתעורר אותו להתמודדות. השאֵלה למיתקשה יכולה להינתן מחומר שכבר נילמד ולמצטיין מחומר חדש באותו תחום. דפי עבודה ותירגול, ככל שיהיו מדורגים וערוכים היטב, אינם יכולים להחליף את הסיטואצייה התיווכית של דיאלוג מורה-תלמיד וגם של תלמיד-תלמיד. לפעמים הסבר של תלמיד-עמית יוצר תיווך שאינו נופל מתיווך מורה-תלמיד. מאחר שהתלמידים יכולים לתווך זה לזה , חשוב ביותר הרב-שיח שמתרחש בכיתה. עד כה לא נמצאה תוכנת מחשב שתחליף בהצלחה את התהליך האינטראקטיבי שבין מתַוֵוך למתֻוָוך. פאראמטר ההדדיות וההתכוונות מתאים אך ורק לאינטראקצייה בין בני אדם. דוגמא לכוונה ליצור הדדיות אפשר להביא מתחילת ההוראה של העשרה אינסטרומנטלית. המתווך משתף את הילד בכוונותיו והוא מסביר לו כבר במיפגש הראשון עם הנושא שמוחשי הוא מה שניתפס בחושים ומופשט הוא מה שניתפס בחשיבה. מקבל התיווך מודע לעובדה שהמתווך מעוניין ומתכוון ללמדו כיצד להגיע להפשטה. הוא גם לומד את היתרונות של ההפשטה וחש מתי הוא עובר מפעילות קוגניטיבית ברמת ההמחשה לפעילות ברמת ההמחשה. 2. טרנסצנדנטיות פניו של התיווך לעתיד – ההכנה לקראת… המרכיב הזה של התיווך מתבטא בהעברת התרבות לפְּרט, בהקניית אסטרטגיות קוגניטיביות. באמצעות האסטרטגיות האלה יוכל מקבל-התיווך להגיע לרמות חשיבה גבוהות יותר. הטרנסצנדנטיות מקנה לחניך מרכיבים של זמן, מקום, סדר, רצף וחוקיות , שבאמצעותם יוכל החניך לתפקד ברמה גבוהה יותר. המדד הזה של התיווך אינו כולל סוגים של אינטראקציות שמטרתן מיידית – כמו עצירת ילד שרץ אחר כדור לכביש. המרכיב הטרנסצנדנטי במתימטיקה מתבטא בהקניית עקרונות חשיבה שיאפשרו למקבל-התיווך לפתור בעיות חדשות שייתקל בהם בעתיד. לתיווך תהיה הצלחה מכסימלית כאשר יוכל החניך לפתור ביעילות בעיות בתחומים מתימטיים ובעיקר חוץ-מתימטיים. היכולת של התלמיד ליישם כללים לוגיים שנרכשו במתימטיקה בתחומים אחרים מצביעה על עוצמתו של המרכיב הטרנסצנדנטי בחווייה התיווכית. 3. תיווך של משמעות התיווך למשמעות עוסק באנרגייה שעל החניך להשקיע בביצוע המשימות והרגשות המיתלווים לעשייה הזאת. המתווך מישתמש בכל האמצעים כולל הבעות פנים ותנועות גוף, כדי להביא את החניך לאינטראקצייה הדדית. לעורר את הצורך בעשייה כלשהי פירושו להפעיל את המרכיב של המשמעות באינטראקצייה התיווכית. במתימטיקה התיווך למשמעות יתבטא בפיתרון בעיות שמקבל-התיווך יכיר בחשיבותן ולכן יהיה מוכן להשקיע אנרגייה בפתירתן. דוגמא לכך הן בעיות הקשורות לאחוזים. השימוש באחוזים רווח בחיי היומיום, לכן הלומד חש צורך להבין את הנושא. אם התלמידים אינם מודעים לחשיבות הנושא, טוב יעשה המתווך אם יביא קטעי עיתונות המשתמשים באחוזים ויעורר בתלמידיו מוטיבצייה להבין את המושג ומשמעויותיו. 4. תיווך לתחושת מסוגלות תחושה של מסוגלות מעוררת את האדם להמשיך במאמציו ובפעילותו. אדם שחש שמשימות מסויימות הן מעבר ליכולתו יימנע מלגעת בהן. יש מקרים שלאחר הצלחות מסויימות בתחום הקושי מוּסר המחסום הרגשי הפוגע בתיפקוד והחניך ניכנס למעגל של: הצלחות - חיזוק תחושת המסוגלות - התמודדות עם משימות חדשות - הצלחות - חיזוק תחושת המסוגלות וחוזר חלילה. כדי לעורר את תחושת המסוגלות חייבת להיות הצלחה כלשהי. לפעמים המצליח חסר ביטחון במידה כה רבה שנידמה לו שהצלחתו היא מקרית ואינה מעידה על יכולתו – הוא. תפקידו של המתווך להצביע על ההצלחה ולפרש אותה לחניך, בבחינת : "ראה מה אתה מסוגל לעשות כאשר אתה מתרכז, אם תמשיך כך אין ספק שתצליח ". רבים מעידים על עצמם שכישלון מוקדם במתימטיקה גרם להם להירתע מהמיקצוע במשך זמן רב ואפילו לאורך כל חייהם. כדי ליצור תחושת מסוגלות בתחום המתימטיקה כדאי לבנות את היסודות של המיקצוע ביסודיות. לדוגמא, יש להקדיש הרבה יותר זמן מהנהוג עתה ל – 4 פעולות החשבון, להרבות בבעיות, להעמיק את השליטה הטכנית בפעולות האלה ( למשל, ידיעת לוח הכפל בעל-פה) ולהקדיש הרבה זמן להבנת משמעותן. דחיית השימוש במחשבון לכיתה ו' תתרום להפנמת תחושת הכמות והאומדן ותסייע במניעת כישלונות. הצלחה שתלווה בתגובה בעלת אופי תיווכי, המפרשת את טיב ההצלחה, תוביל לתחושת מסוגלות אצל מקבל-התיווך. 5. תיווך של וויסות ופיקוח על התנהגות התיווך לוויסות ההתנהגות מתפצל לשני היבטים מנוגדים. א. ריסון ה אימפולסיביות. ב. ייזום התנהגות. א. האימפולסיביות מתבטאת בתשובה שהחניך נותן בטרם אסף את כל הנתונים. כתוצאה מכך התוצרים שלו אינם מדוייקים ואין הוא יכול לנצל את הפוטנציאל הקוגניטיבי שלו. כדי לתווך שליטה בהתנהגות – המתווך יעכב את חניכו בעת מתן תשובה חפוזה ויכוונו לבחון היטב את הנתונים ולהקדיש זמן לארגון היחסים הפנימיים ביניהם. התנהגות אימפולסיבית פוגעת בכל התיפקוד הקוגניטיבי. בגלל האופי הקפדני של המתימטיקה, האימפולסיביות מחַבֶּלֶת בביצוע משימות מתימטיות. החניך ניכנס למעגל של כישלונות: הוא ניכשל , לכן הוא מאבד את ביטחונו ובמשימה הבאה הוא מנסה להיחלץ מהכישלון על ידי ניחוש המבוסס על תגובה אימפולסיבית. הכישלון מחזק את האימפולסיביות , וחוזר חלילה. אימפולסיביות ---- כישלון ----- הגברת האימפולסיביות . חינוכאים רבים הכירו בעובדה שחלק ניכר מהכישלונות בפתירת בעיות במתימטיקה נובע מאימפולסיביות שגורמת לחוסר איסוף נתונים תקין. כדי לרסן את האימפולסיביות ביקשו מהפותרים לציין מה נתון ומה צריך למצוא. התוצאות של הרעיון הזה איכזבו. לא חל שיפור ברמת התלמידים. הם הפכו את הפעולה של רישום הנתונים לטכנית, והיא השתלבה בתוך המארג של ההתנהגות האימפולסיבית. ברור שצדקו החינוכאים שטענו שיש לחנך לאיסוף נתונים תקין, למה, אם כן, לא התקבלו התוצאות המקֻווֹת? היה חסר המימד של המוּדעוּת. הילדים פעלו בהתאם להוראות המורים, אך לא היו מוּדעים למרכיב ההתנהגותי של עצמם. כדי להתגבר על האימפולסיביות חייב הלומד להפעיל מנגנון עצמי של וויסות ההתנהגות. כל עוד לא ניבנה המנגנון הזה לא ישתפר תיפקודם של התלמידים. וויסות עצמי מחייב מודעות עצמית. ב. מורה למתימטיקה שמבקש מתלמידיו להמציא בעצמם בעיות המתבססות על עקרונות שהם רכשו, מתווך להם מהלך של ייזום התנהגות. ממקבלים פסיביים של מידע הם הופכים ליוצרים אקטיביים שלו. מורה למתימטיקה שמעודד את תלמידיו ללמידה פעילה מהסוג הזה מחזק בהם את הנטייה לפעול בצורה מווסתת ומאורגנת. בדרך זו הוראת המתימטיקה עשוייה לתרום ליצירת שינוי מִבְנִי בתלמיד, שישפיע על התנהגותו הקוגניטיבית גם בתחומים חוץ-מתימטיים. 6. תיווך להתנהגות מְשַתֶפֶת תיווך להתנהגות משתפת פותח את הדרך ליחסי חיבְרוּת והבנה הדדית. במתימטיקה אפשר לתווך לשיתוף על ידי רב-שיח כיתתי על דרכי פיתרון. כאשר ילד מתאר איך הוא הגיע לפיתרון בעייה מסויימת והוא זוכה לתגובות על התהליך שהוא מדווח עליו, הוא לומד לעבוד בצוות חשיבה. מעבר להישגים במתמטיקה הוא לומד לעַבֵּד את דבריו, כך שהזולת יבינם, להאזין לדברי הזולת ולהתייחס אליהם. 7. תיווך של ייחודיות ואבחוניות פסיכולוגית כדי שאדם יוכל לבנות אישיות עצמאית עליו לעבור תהליך של היבּדלות מזולתו. במתימטיקה יתבטא התיווך לייחודיות בעידוד התלמידים לחפש דרכי פיתרון בדרכם – הם. מורה, שהוא גם מתווך, לא יכפה במתימטיקה דרך פיתרון אחת ויחידה הנראית לו. אם פיתרון בדרך אחת מסויימת עדיף מבחינה מתימטי על פיתרון אחר, טוב יעשה המחנך אם יפרש את עמדתו. לדוגמא, פיתרון בעיות באחוזים. את הבעייה הבאה ניתן לפתור בשתי דרכים: מחירו של מוצר היה 3500 ש"ח. הוא התייקר ב – 12% ממחירו. מה מחירו החדש? פיתרון א': מה הייתה ההתייקרות? מה היה המחיר החדש? 3920 = 420 + 3500 תשובה: המחיר לאחר ההתייקרות 3920 ש"ח. פיתרון ב': כמה אחוזים מכיל המחיר החדש? 112 = 12 + 100 מהו המחיר החדש? התשובה זהה, הדרך שונה. מבחינה מתימטית עדיפה דרך ב', אף על פי כן המתווך לא ישלול את פיתרון א', אם הוא מוצע על ידי התלמידים. לאחר הַקַּבָּלָה של דרך החשיבה שלהם הוא יעודד דיון על הדרך הנוחה יותר ויעורר בתלמידים תחושת מסוגלות. בנוסף, עצם שיקול הדעת לגבי יתרונותיו וחסרונותיו של פיתרון כלשהו יתרום לפיתוח היכולות הקוגניטיביות של החניכים. בשבר העשרוני תיפתר הבעייה הזאת על ידי כפל פשוט: 3920 = 1.12X3500 תלמידים שניפגשים בתופעה של מיגוון דרכים לפיתרון של אותה בעייה יוכלו לבחור בדרך הפיתרון הנוחה לאישיותם. עידוד התלמידים להמציא בעיות ולנסחן באורח עצמאי מאפשר לתלמיד לתת ביטוי לאישיותו ולתחומי התעניינותו. 8. תיווך לחיפוש מטרות, קביעתן, תכנון והתנהגות של הישג פניו של תיווך המכוון את החניך לחיפוש מטרות – לעתיד. החניך לומד שיש דרכים שונות להשגת המטרות ועליו לבחור את זו המתאימה לו. במתימטיקה הסוג הזה של התיווך בא לידי ביטוי בגישה הכללית שמפתחים אצל החניך. לדוגמא, בבעיית האחוזים שהוצגה לעיל בתיווך לייחודיות, יש להחליט על דרך הפיתרון: אם מחפשים את הפיתרון היעיל, ברור שהכפל של 3500 ב – 1.12 הוא הטוב ביותר. אם המטרה היא להבין את הסיבה לכפל הזה חייבים ללמד את התרגיל של השבר הפשוט, ואת תהליך החשיבה המוליך אליו: קודם אני מחלק ל – 100 כדי למצוא ערכה של מאית אחת ואחר כך אני כופל ב – 112 כדי למצוא ערכן של 112 מאיות. שיתוף הילדים בשיקול הדעת של המורה יוצר תיווך לחיפוש מטרות. אני לא פותר רק כדי למצוא תשובה אלא אני פותר כדי להבין. היבט אחר של התיווך לחיפוש מטרות הוא חינוך התלמיד להתמקדות בעיקר. כאשר תלמיד ניגש לפתור בעייה עליו להבחין בין טפל לעיקר, הוא חייב לאסוף נתונים המכוונים למטרה – שהיא הגעה לפיתרון. למשל, בבעייה : בבית מספר 57 ברחוב הרצל גר דייר שבדירתו 12 חלונות. בבית מספר 42 באותו רחוב גר דייר שבדירתו יש מחצית ממספר החלונות מזה של הדייר במספר 57. כמה חלונות יש בביתו של הדייר שגר בבית מספר 42 ברחוב הרצל? הפותר חייב לקבוע שמטרתו היא מציאת מספר החלונות. לאחר שהוא קבע את המטרה, עליו להתמקד אך ורק בנתונים הרלוונטים המוליכים אותו אל הפיתרון. הכתובות של הדיירים אינן משמשות מטרה זו. ההתמקדות במטרה מנווטת גם את איסוף הנתונים. ב"לדעת חשבון" ימצא המעיין בעיות שיש בהן נתונים מיותרים לצד בעיות שחסרים בהן נתונים. פיתרון בעיות אלה מאפשר תיווך להתמקדות במטרה. 9. תיווך לאתגרים : חיפוש אחרי החדש והמורכב יש חינוכאים רבים החוששים להטיל משימות קשות מידי על חניכיהם, שמא ייכשלו. בלי כישלונות אין למידה משמעותית, בתנאי שהכישלון לא יעורר פחדים, אלא ישמש מנוף לחיפוש פיתרון טוב יותר. מרבית ההמצאות של המין האנושי נבעו מהצורך לחפש פיתרונות לבעיות שלא הצליחו לענות עליהם. שיטות חקלאיות מתקדמות סייעו להרחבת איזורי גידולים. ללא כישלון בהספקת די מזון לאוכלוסייה, לא היו מנסים לפתח המצאות חדשות. במתימטיקה, המתווך משדר לתלמיד שהכישלון הוא אבי ההצלחה. הוא מעודד את תלמידיו להתמודד עם קשיים, לא לחשוש מאי הצלחות ולהמציא בעיות מורכבות שחבריהם יפתרו אותן. אפשר לעורר יצירתיות מבוקרת אצל החניכים. ניתן להציע מידי פעם בעיות-אתגר שלצורך ההתמודדות איתן מותר להתייעץ באחרים. אווירה מקבלת ותומכת במקרה של אי הצלחה תורמת לשיפור בגישת מקבל-התיווך כלפי בעיות, כלפי עצמו וכלפי אחרים. יש תלמידים שתשובתם הראשונה לכל בעייה שנראית להם קשה היא: "אני לא יודע". מחנך-מתווך לא יקבל תשובה כזאת כתשובה אחרונה. הוא יסייע לחניכו לפעול בהדרגה ויצביע לו על הצלחתו בהתמודדות ועל הסיפוק שחשים כאשר מתגברים על קשיים. 10. תיווך למודעותו של האדם כיישות משתנה אנשים רבים השלימו עם העובדה שמתימטיקה אינה בהישג ידם. הורים רבים אומרים: " אף פעם לא הבנתי מתימטיקה והבן שלי ירש את זה ממני." מעבר לדברים האלה יש גישה האומרת: אני כזה ואינני בר שינוי. אין לי מוח מתימטי. הוראה מדורגת שמובילה להצלחות עשוייה לשנות את העמדה הזאת. הידיעה שאי פעם לא הצלחתי והנה מצאתי דרך להצליח עשוייה ליצור שינוי מבני באישיותו של החניך. בחברה שלנו יש למתימטיקה תפקיד מרכזי. הצלחה בתחום הזה עשוייה להוביל לשינוי בתפיסת האני. לאור זאת כדאי להקנות לחניך עקרונות חשיבה ואסטרטגיות למידה שיסייעו לו להצליח. דוגמא: יש מורים שרוצים לסייע לתלמיד בכל מחיר להצליח וממהרים לתת לו מחשבון. העיקר שתהיה בידו תשובה. למעשה, בטווח הרחוק הם גורמים לילד נזק שקשה ביותר לתקנו, ולעיתים הנזק בלתי הפיך. שכנוע הילד לחזור ולתרגל תרגילי חשבון ללא מחשבון ישפר את תפיסת הכמות והיחסים המתימטיים. ברגע שהתלמיד רוכש את הבנת ארבעת פעולות החשבון נפתחת לפניו הדרך למתימטיקה, להצלחה, לשינוי העמדה שלו כלפי עצמו ולשינוי מבני באישיותו. 11. תיווך לראייה אופטימית ראייה של העתיד היא פועל יוצא מתפיסת העולם שהאדם מגבש לו במהלך חייו. היא משפיעה על החלטותיו ועל בחירותיו. אדם שאינו בוטח בעצמו, או אדם שאינו מודע ליכולותיו עלול לבחור בדרך כלשהי שלא ימצה בה את יכולתו. בחברה הטכנולוגית של ימינו יש למתימטיקה מישקל מכריע בתפיסת האני. כישלון במיקצוע הזה עלול לגרום לדימוי עצמי ירוד ולבחירה של דרך חיים המבוססת על ראייה פסימית של האפשרויות. תיווך לראייה אופטימית יכול להיעשות במתימטיקה, לאחר שהמתווך מזמן לחניכו שורה של הצלחות. {פונקציות קוגניטיביות פגומות; הוראה מול תיווך} אדם שלא זכה לחווייה של תיווך יפתח פונקציות קוגניטיביות פגומות, שתפגענה ביכולתו לנצל את הפוטנציאל הטמון בו. פוירשטיין קורא לתופעה הזאת: קיפוח תרבותי. קיפוח תרבותי הוא מצב שבו הפרט לא זכה לתיווך בתרבותו-הוא, לכן לא זו בלבד שלא זכה לקבל את מה שתרבותו יכולה להציע לו, אלא שחלה פגיעה בכישוריו הקוגניטיביים ובעקבותיה גם במרכיבים אחרים של אישיותו.

 
 
ספר חשבון לתלמיד
ספר חשבון למורה
1. מספרים טבעיים
2. מובני השבר
3. המשמעות של חיבור וחיסור שברים
4. הרחבה וצמצום
5. צמצום והרחבה - חיבור וחיסור
6. חיבור וחיסור מספרים מעורבים
7. כפל וחילוק של שברים פשוטים
8. השלם וחלקיו
9. מציאת השלם מהחלק בשברים וב-%
10. היחס בין המרכיבים הכמותיים
11. יותר ופחות משלם
12. הכרת השבר העשרוני
13. חיבור וחיסור שבר עשרוני
14. כפל וחילוק שבר עשרוני
15. השבר העשרוני ואחוזים
הנדסה לתלמיד
הנדסה למורה
הנדסה - כיתות ד'
הנדסה - כיתות ה'
הנדסה - יחידות
הנדסה - חישובי שטחים









.תלמה גביש ז"ל יצרה את חומרי הלימוד עבור הלומדים והמלמדים. השימוש בחומרים מותר תוך ציון שם הַמְחַבֶּרֶת