דף הבית אודות תלמה גביש מאמרים סרטונים ביבליוגרפיה ספרים מומלצים צור קשר
לשפה המתימטית תפקיד חשוב בתחומים רבים ובתרבויות רבות. קישורה של המתימטיקה לחיי יומיום מקנה לה משמעות ואמור לעורר בלומד מוטיבציה להבין את עקרונותיה. המשתמשים באתר מוזמנים לקרוא את ההסברים על מבנהו ועל הדרכים להפיק מהאתר את מירב התועלת.

למתימטיקה משקל רב מאוד בתרבות החשיבה של האדם. לצד ההיבט המעשי שלה וביסוס המדע והטכנולוגיה עליה, היא תורמת לחשיבה הלוגית המופשטת תרומה שאין לה אח ורע בתרבות. היא יוצרת שפה כלל אנושית שיש לה חוקים כמו לכל שפה אחרת: מושגים, תחביר וכתיב משלה. אופייה המופשט מצריך הבנה של הרעיון המסתתר מעבר לשפה הפורמלית והוא גורם חשוב לפיתוח חשיבה מתמטית ולטיפוח תהליכי חשיבה בכלל. אופייה של המתימטיקה ההיסטוריה של המתימטיקה מצביעה על הצורך בספירה בכל החברות האנושיות ברחבי העולם. הצורך הזה הלך והעמיק ובחברה של ימינו הפך לעניין של יומיום. מידי יום אנחנו רוכשים דברים, משלמים עבורם ומקבלים עודף. כאשר אנו מפקידים את כספנו בבנק, או קונים דירה אנו נדרשים לחשב אחוזים. ללא הבנת היחס, המבוטא באמצעים מתמטיים, איננו יכולים לרדת לעומקן של תופעות מדעיות וחברתיות. הרמות המופשטות יותר של המתימטיקה נתנו בידינו כלים לפתרון בעיות ולהבנת הקשרים בין תופעות שונות והצגתן בשפה אוניברסלית: מספרית, גרפית, צורנית והצגה של קשרים באמצעות סמלים מתמטיים כמו אותיות וסמלי פעולות מתמטיות. לעיתים אפשרה השפה המתמטית ניבוי של תופעות פיסיקליות ואחרות, המתמטיקאים 'שיחקו' במתימטיקה טהורה והסתבר אחר כך שזו מתאימה בדרך מופלאה להצגת חוקיות של תופעות. הקשר הזה שבין המתימטיקה לתופעות המצויות בעולמנו מקנה למתימטיקה ערך שמעבר לה. המתימטיקה קשורה לחיים ברמות השונות של העיסוק האנושי, והיא מקנה לעוסק בה יכולות קוגניטיביות שתתרומנה לפיתוח כלל אישיותו של האדם. תהליכי חשיבה המצריכים דיסציפלינות מוגדרות היטב נבנים בתוכה בשיטתיות ובהדרגתיות. כאשר ילד לומד את היחסים הפנימיים בין המספרים הטבעיים ואת פעולות החשבון בהם, הוא קונה בסיס להבנת תהליכים מתמטיים ואחרים. מי שמבין את משמעותן של 4 פעולות החשבון במספרים הטבעיים רכש כלים להבנה של אותן הפעולות ברמה האלגברית. ללא הבנה של משמעות החילוק אין יכולת להבין את השבר. מי שאינו מבין שברים, לא יוכל להבין אחוזים ולפתור בעיות מילוליות ולא יבין את משמעות השיפוע של פונקציה. הפרקים השונים של המתימטיקה אחוזים זה בזה בכבלי עקרונות לוגיים ויוצרים רשת פנימית המאגדת בתוכה את דרכי החשיבה הבסיסיות שעליהן ניתן לבנות בניין-על של מתימטיקה גבוהה. תהליכי החשיבה המשותפים לפרקים השונים של המתימטיקה מקלים על גיבוש ההבנה המתמטית. אופייה המיוחד של המתימטיקה, המאחד בתוכו את חיי היומיום עם רמות גבוהות של פעילויות קוגניטיביות, עושה אותה לאחת מאבני היסוד החשובות ביותר בחשיבה האנושית ובעשייה המדעית והטכנולוגית בעולם. המתימטיקה מהווה מכשיר בסיסי לבניית מבנים קוגניטיביים. בהיותה כזאת היא עשויה לתרום לחשיבה גם בתחומים אחרים, כמו מדעי החברה והרוח. לדוגמא: הגדרת סוגים שונים של תרגילים והבחנה ביניהם, מפתחת גישה אנאליטית המסייעת לפיתוח חשיבה ממיינת, המשתקפת בתחומים אחרים. יש מי שיוכל לראות קשרים אלה ללא עזרתו של המחנך ויש מי שיזדקק לתהליך של תיווך שיפרוש אותם לפניו. בכל מקרה, הקשרים האלה מוכיחים שהמתימטיקה אינה גוף ידע מבודד, אלא רלוונטית לחיים שלנו. הגישה התרבותית למתימטיקה המשתקפת באתר , קישור לחומר קודם ויצירת בסיס משותף נקודת המוצא של המחנך היא המטען הרוחני שהילד מביא אתו, לכן הספר פותח בחזרה על חומר קודם. ללא קישור לידע קודם ויצירת בסיס משותף ייתקלו המורה והתלמיד בקשיים שלא תמיד ניתן לאתר את מקורם. חזרה כזו תיצור את הקשרים המתאימים ותימנע קשיים אלה בעתיד. לתלמידים מתקשים החזרה תהיה הזדמנות להשלמת החסר. לתלמידים מתקדמים היא תאפשר הפנמה של החוקיות. הספר בנוי כך שתלמידים יוכלו להסביר זה לזה את דרכי החשיבה הנדרשים ותינתן אפשרות לדיון קבוצתי בנושא. שימוש מדויק בשפה מתמטית ובשפה מילולית הקפדה על הגדרות מדויקות ועל שימוש לשוני נכון הן חלק מהתפיסה הרואה במתימטיקה שפה אוניברסלית בעלת מושגים, תחביר וביטוי של יחסים - המייחד אותה. שימוש לשוני מדויק בלשון המדוברת והכתובה מהווה יסוד טוב להבנה של השפה המתמטית. בדרך זו השפה המילולית תומכת בהבנה של השפה המתמטית, וחוזר חלילה. השימוש המדויק בשתי השפות יוצר אדם בעל ראייה ברורה של תופעות והבנה של מערכות מושגים. באתר יש הקפדה על שימוש לשוני מדויק במושגים כמו: מחוסר, מחסר ודומיהם, מתוך הנחה ששליטה במושגים לשוניים מסייעת להבנת תהליכים מתמטיים ולקליטת המשמעויות החוץ-מתמטיות של המתימטיקה. שימוש כזה מבסס הפנמה של תהליכי חשיבה ושל יצירת ייצוג פנימי נכון של מושגים ופעולות מתמטיות. קליטה של מושגים ותהליכים מתמטיים, המתויגים במושגים לשוניים מדויקים מסייעת להבנה, לשליפה וליישום חוקיות. הקפדה על הדיוק והבהירות מקרינה על ההתנהגות הקוגניטיבית גם בתחומים אחרים. לדוגמא: ההבחנה בין חילוק לחלקים וחילוק להכלה מפתחת יכולת הבחנה בין סוגים שונים של תהליכי חשיבה שמיוצגים במתימטיקה בפעולה אחת: הפעולה היא חילוק, אם כי תהליכי חשיבה שונים מוליכים אליה. הבחנה זו מעוררת את הצורך בחיפוש חוקיות (פונקציות קוגניטיביות פגומות ) והבנה של המשמעויות של פעולות מתמטיות. שימוש במושג ה 'הכלה' וקישורו למשמעות הלשונית של המושג 'הכלה' תורם ליכולת לפתור בעיות ברמה גבוהה, כמו אלו המופיעות בפרקים האחרונים של הספר. אוריינות מתמטית באתר יש המללה רבה המפתחת בלומד תרבות קריאה אוריינית ויכולת להתקדם לבד בחומר הנלמד. הקפדה על שימוש מדויק במונחים מתמטיים בעת הדיונים הקבוצתיים והכיתתיים תעמיק את האוריינות בתהליכים מתמטיים וחוץ-מתמטיים. חשיבות השליטה במונחים הלשוניים התפיסה של האתר רואה במתימטיקה מכשיר לפיתוח תרבות חשיבה כוללת, לכן מנחה את המורה ואת התלמיד להכרה בצורך לפתח כושר הַמְשָׁגָה. ייטיב המורה אם ינחה את תלמידיו לכתיבת כל המושגים והגדרתם. במקביל, מומלץ שבכיתה יהיה לוח שיוצב לפני התלמידים שעליו ייתלו כל המושגים שנלמדו. עידוד התלמידים להשתמש במונחים הלשוניים המדויקים יתרום למתימטיקה, לחשיבה בהירה וליכולת לפתור בעיות מילוליות. מושגי המפתח שהכרח להכירם ולהשתמש בהם מצוינים במדריך למורה באותיות כהות. אותם הרעיונות בביטוי שונה כשם שיש להבחין בחשיבה שונה המובילה לאותה פעולה מתמטית, כך יש להבחין בין ביטויים שונים לאותה התופעה. העובדה שאפשר להציג במתימטיקה אותו רעיון במגוון של דרכי כתיבה חורגת מתחומי המתימטיקה. כמו שבספרות אפשר לבטא רעיון או רגש בדרכים רבות כך במתימטיקה אפשר להביע רעיון בדרכים אחדות. לדוגמא, חצי יכול להיות מבוטא על ידי שבר פשוט ( ½ ), על ידי שבר עשרוני ( 0.5 ), או על ידי אחוז ( 50% ). מכאן שמלאכת התרגום הפנים -מתמטית היא אבן היסוד להבנת החוקיות שלה. מלאכת התרגום מהמציאות אל המתימטיקה ובחזרה, היא אבן היסוד להבנת המשמעות המתמטית ולהדגשת הרלוונטיות של המתימטיקה לחיינו היומיומיים. הכוונה ליוזמה של הלומד הפעלת התלמיד ביצירת תרגילים או בעיות המבוססים על כללים מתמטיים עושה אותו ללומד פעיל. עליו לחפש את החוקיות העומדת בבסיס התרגילים האלה וליישם אותה על מה שהוא ינסח. מאדם הקולט מידע הוא הופך להיות לאדם המייצר אותו והמודע למבנה הידע ולמשמעותו. הדיאלוגים שבאתר מדגימים כיצד ניתן להפעיל את התלמיד בדיון הכיתתי או הקבוצתי. השוואה והבנת חוקיות על התלמיד לחתור להבנה של חוקיות ולהבחנה בינה לבין חוקים אחרים כדי שיוכל להגיע לשלב בו הוא ייצר מידע, לכן בכל נושא חדש מוצגות בעיות חדשות לצד בעיות מסוג שהתלמיד הכיר. ההבחנה בין הישן לחדש מחייבת הבנת אופיו של החומר החדש, הבנת החוקיות שמייחדת את החדש והבדלתה מחוקיות שהתלמיד פגש בה בעבר. זיהוי דמיון ושוני המושג על ידי ניתוח החדש והבחנתו מהישן עשוי להפך להרגל קוגניטיבי שניתן להעבירו למקצועות ולתחומים אחרים. תהליך מעין זה יוצר חשיבה ממיינת המסייעת בפתרון בעיות בענפים השונים של המתימטיקה, כמו גם במקצועות אחרים. אדם הנתקל בבעיה ומצליח לשייכה, על ידי מיון, לתחום המתאים לה מסוגל ביתר קלות לברור את הכלים העומדים לרשותו בפתרון בעיות מהסוג הזה. חכה במקום דג מי שעובד בדרך זו לומד להשקיע בתהליך הקוגניטיבי, לנווט את עצמו בתוכו, להתארגן באופן שיטתי לקראת הפתרון ולבנות אסטרטגיות מתאימות שתובלנה אותו לתוצאה המבוקשת. הקניית עקרונות ובניית תהליכי חשיבה יפתחו אצל התלמיד יכולות שניתן יהיה לנצלן בפתרון בעיות חדשות לגמרי. נלמד אותו עקרונות , נאפשר לו לתרגל – הוא יגיע לבדו לפתרונות. גמישות וביקורת עצמית דיון מסכם בכיתה, הבוחן דרכי פתרון שונות, מוביל להגמשת החשיבה ולפיתוח ביקורת עצמית. הדיון יכול להיערך במסגרת הכיתתית או בקבוצות של תלמידים שידונו בהצעות השונות לפתרונות. דיאלוג של שאלות ותשובות המוביל לגילוי הדגמות של חלקי דיאלוג נועדו להקל על המורה ולהדריכו כיצד לבצע הוראה שתוציא מטרות אלה לפועל. הדיאלוגים מעלים שאלות ותשובות אפשריות. השימוש בדיאלוג מציב בפני הלומד אתגרי חשיבה ומסייע לו לבנות רצף של הבנה תהליכית שיטתית. בתחילת הדרך מהווה המורה מקור להצגת בעיה כלשהי. הוא יוצר גירוי לחשיבה ומתקדם בעזרת תשובותיהם של תלמידיו, צעד אחר צעד. הדיאלוג סומן בקיצורי הלשון: ש = שאלה ; ת = תשובה ; כאשר המורה חייב להתערב בתהליך, כי לא לכל רעיון יוכלו התלמידים להגיע לבד, סומנה התערבותו ב: מ = מורה. בכל קבוצה לומדת הדיונים מתפתחים בדרך שונה, לכן יש לראות בסימונים האלה המלצה בלבד ובדיאלוגים התוויה כללית של דרך הדיון. הדיאלוג יכול להיות פנימי, מעין דו-שיח של הלומד עם עצמו, לכן תלמיד יכול ללכת בעקבותיו ולהגיע לגילוי עצמי. הדיאלוג יכול להיות חיצוני – בין שני תלמידים ויותר. הדיאלוג יכול להיות בין תלמיד למורה. הדיאלוגים מכילים שאלות מנחות ותשובות שכדאי להגיע אליהן. הם בבחינת הצעה לאינטראקציה שייתכן ותתרחש בעת הלמידה. שימוש בדיאלוגים שלתוכם נארגה התיאוריה נועד, בין היתר, לסייע למורה שמסיבות כלשהן אינו יכול לקבל הנחייה צמודה. בדרך כלל כדאי לפתוח יחידה בתהליך הדיאלוגי, כפי שמוצע במדריך-למורה. זה שלב שבו המורה מתווך לבניית מבנים חשיבתיים הנדרשים להתמודדות עם החומר החדש. אחר כך יוכל התלמיד לעבוד עם החוברת לתלמיד באופן עצמאי או בעזרת המורה. חלק מהעבודה בחוברת יכול להינתן כשיעורי בית. הרציונל לדרך העבודה, משולב בדיאלוגים. כדי להקל על המורה שולבו הדיאלוגים וההערות הדידקטיות בתיאוריה ובמערכת של שאלות ותשובות אפשריות. מבנה של דיאלוג בצירוף כותרת, המסבירה את מטרתו, מאפשר ראייה בו-זמנית של תהליך שעשוי להתרחש בכיתה ושל משמעות התהליך. בתחילת הספר התערבותו של המורה בדיאלוגים רבה. זו הולכת ומתמעטת ככל שמתקדמים בלמידה וככל שהתלמידים הבינו את עקרונות הלמידה. הישגו הגדול ביותר של מורה יהיה אם יצליח להביא את כיתתו לניהול עצמי של דיאלוגים בנושא חדש. עידוד הלומדים לשאילת שאלות ככל שהתלמידים מפנימים את תהליך החשיבה והופכים לאקטיביים יותר, הם יתחילו בעצמם לשאול שאלות ולחפש תשובות. רצוי לעודד התפתחות זו. שאלות שמעלות קשיים או מציגות גישה הנוגדת לזו שהוצגה על ידי המורה –הושמו בדיאלוגים בפי הילדים. אם הם אינם מקשים על מה שנלמד, תפקיד המורה הוא להעלות את הנושא. לדוגמא: בפרק שבו מופיעות בעיות של יותר מהשלם, המורה מכוון את התלמידים לחשב תחילה את האחוזים ורק אחר כך לעבור לכמויות. השאלה 'למה לא כדאי קודם לחשב את התוספת הכמותית ואחר כך לחבר אותה לגודל היסודי' חשובה במיוחד ודורשת התייחסות שתסייע לתלמידים להבין מדוע הוספת האחוזים תחילה חשובה. אם תלמיד שואל אותה - מה טוב, אם לא – "את פתח לו". הערך הרב של ההרגל לשאול שאלות כל למידה חדשה מתחילה בשאלה. כל פריצות הדרך הטכנולוגיות והמדעיות התחילו באנשים שואלים. המונים ראו תפוחים נושרים מעצים, אבל רק ניוטון לא התייחס לנפילה ארצה כמובנת מאליה. הוא היה הראשון לשאול מדוע הם נופלים. הגישה הרואה בהוראת המתימטיקה מכשיר להקניית תרבות חשיבה, מעוררת את הלומד לשאול שאלות. בדרך זו נותנת בידיו מפתח אינטלקטואלי לפיתוח מנטלי. השואל שאלות נמצא בדרך המובילה לפתרונות. לבעיית התרגול ילד רך מגיע לשליטה בשפת אמו תוך חזרה ותרגול. מה שנכון לשפת אם, נכון בוודאי גם למתימטיקה. תלמיד זקוק למספר רב של תרגילים כדי שתחושת המספר תתייצב אצלו. שימוש במחשבון עלול לחבל בהפנמה. ביחידות הראשונות אין לתת ביד התלמיד מחשבון. השימוש במחשבון ייעשה במדורג, אחרי לימוד השבר העשרוני. לצד תרגול של תרגילים ובעיות יש חזרה שיטתית על עקרונות. המורה ימצא בראש כל יחידה רשימה של מטרות שיש להשיגן בעת ההוראה של היחידה. עיון ברשימות אלה יגלה שמטרות ועקרונות רבים חוזרים ומופיעים ביחידות השונות. החזרות האלה הן שיוצרות את הקשרים בין היחידות, והן מביאות את הלומד לפיתוח תהליכי הפנמה והבנת משמעויות. מקומם של המספרים הטבעיים המתימטיקה מבוססת על המודעות לקיומם של מושגי יסוד ועל ההכרה בצורך במערכת אכסיומות שתשמש בסיס לבנייה שיטתית של חוקים הנובעים מהמבנה הלוגי שלה. לכן פתחנו במספרים הטבעיים– שהם מושגי יסוד – ולפעולות החשבון הבסיסיות ומשמעויותיהן – המבוססות על הנחות היסוד לגבי המספרים הטבעיים. לביסוס ההבנה של המספר הטבעי הרחבנו את הטיפול למספרים גדולים. מהמספרים הטבעיים עברנו לשברים תוך הצבעה על דרכי חשיבה המשותפות לשניהם. בדרך זו מקשר הספר בין פרקים שונים של המתימטיקה שנלמדו בעבר לבין חומר עכשווי ומכין את הרקע להבנת חומר מתמטי עתידי. רלוונטיות יומיומית ותרבותית בפרקי החזרה על המספרים הטבעיים, התלמיד עוסק בתהליכי השוואה, המשותפים לתחומים רבים, החל בהשוואה בין משחקי ספורט, המוכרים לילדים, וכלה בהשוואה של סוגים שונים של מספרים. תהליכי השוואה אלה משמשים בסיס למיון הנדרש לנו לפעולות קוגניטיביות שונות ומגוונות,ולמודעות שחוקיות מסייעת לנו בכל תחום לא רק במתימטיקה. השותפות המבנית–לוגית שבין המתימטיקה לבין תחומי עיסוק שונים מחזקת את הרלוונטיות של המקצוע. השאלה: " בשביל מה אנחנו לומדים את זה? מי צריך בכלל ללמוד את זה" אינה מתעוררת. בנוסף, המשימות החוץ-מתמטיות מעוררות בתלמיד את התחושה של האוניברסליות של המתימטיקה. הוראת המתימטיקה, המצביעה על קשריה עם חיי היומיום, מחזקת את הבנתה, מסייעת להבנת חוקיות חוץ-מתמטית ומעוררת את התחושה שהמתימטיקה רלוונטית לחיינו. המשמעת הנדרשת מהלומד במקצוע יוצרת בו תרבות חשיבה: הרגל לשימוש בעקרונות, דיוק בניסוח חוקים ודיוק בחישובים כדי להוציא מהכוח אל הפועל את התוצאה המתחייבת מהתהליך. כדי ליצור תרבות כזאת הספר בנוי ביסודו על תהליך דיאלוגי של האדם עם עצמו ועם עמיתיו ומחנכיו. קצב ההוראה מובן, שתהליך תרבותי מעין זה דורש השקעה רבה. המורה יבחין בתחילת ההוראה שקצב ההוראה עלול להיות איטי. לאחר שהתלמיד רוכש הרגלי למידה וחשיבה נאותים, ההוראה תתפוס תאוצה ויש להניח שדווקא הנושאים הקשים יילמדו במהירות, כי הבסיס הקוגניטיבי ניבנה ביסודיות. מבט כללי על האתר השגת המטרות התרבותיות מחייבת מיבנה של ספר שיאפשר לתלמיד לפתח את כישוריו הקוגניטיביים ולהבין את קשרי החשיבה בין הפרקים השונים של המתימטיקה. הספר פותח בחזרה על 4 פעולות החשבון במספרים הטבעיים. בפעולת החיסור יש אזכור של המספרים השליליים הנוצרים בהחסרת מספר גדול בקטן ממנו. בחילוק של המספרים הטבעיים מתעוררת הבעיה של חילוק מספר קטן בגדול ממנו – כך נוצר המעבר לשברים הפשוטים. בדרך זו התלמיד ער לצורך לשימוש בשברים. ארבעת פעולות החשבון בשבר הפשוט נלמדות תוך קישורן לעקרונות שנרכשו על ידי התלמיד בעת לימוד המספרים הטבעיים. הדגשת דרכי החשיבה המשותפות למספרים הטבעיים ולשברים הפשוטים, שתיעשה בהמשך, תסייע להפנמת מבני חשיבה, תחזק ידע קודם ותבסס את החדש. הבנת השבר הפשוט מתחזקת עם בעיות של מציאת החלק מהשלם, מציאת השלם מהחלק וכל הקשור אליהן. אין סיבה להפריד את הוראת האחוזים מהוראת הפרק העוסק ביחסים שבין השלם לחלקיו. מבחינת המחשבה אין כל הבדל בין שלוש חמישיות לשלושה אחוזים. השימוש הנפוץ באחוזים בחיי היומיום מחזק את הצורך בלימוד זה ומזמן לתלמיד ולמורה אפשרויות לניתוח חומר חוץ-מתמטי, כמו קריאה של קטעי עיתונות, איסוף מידע בנושא הנדון ודיון במשמעויות של החומר. למשל, ניתוח נתונים בגיאוגרפיה. כל שלב בלימוד הבעיות מורכב מהצגת היחסים הפנימיים באמצעות שבר פשוט ובאמצעות אחוזים, לחיזוק הקשרים וההבנה, בבחינת 'אותו רעיון בהבעה שונה'. כך מפתח התלמיד גמישות מחשבתית ומפנים את העקרונות המתמטיים שלמד. האופנויות השונות לביטוי יחסים מתמטיים המורה והתלמיד ימצאו באתר הדרכה לתלמיד ולמורה ודרכי ביטוי מגוונות ליחסים מתמטיים. לדוגמא, הַשְּלֵמים מיוצגים באופנות צורנית, המקנה את העיקרון שכל גודל יכול להיות שלם בהתאם למסגרת ההתייחסות שהוא קשור אליה. את השלם מחלקים לחלקים שווים, משיימים כל חלק ומונים את מספר החלקים שאנו נזקקים להם. את התהליך הזה שנעשה בצורות נעשה גם בפתרון בעיות מילוליות של מציאת החלק מהשלם והשלם מהחלק. שימוש במגוון אופנויות להבעת אותם הרעיונות מקל על המעבר מהמוחשי למופשט. האיזון בין אתגר לאנאליזה המטרה בכל יחידה להוביל את הלומד למציאת העקרונות המובילים לפתרונות. מומלץ לפתוח בדיון קבוצתי או כיתתי. אחר כך לתת לתלמידים לעבוד בחוברת התלמיד. כל נושא פותח בשאלה מאתגרת. התלמידים המתקדמים יכולים להתמודד עם האתגר, בעוד המתקשים עוקבים אחר ההתלבטויות של חבריהם. מיד לאחר השאלה הזאת, בא תהליך אנאליטי מדורג ומפורט של כל השלבים המובילים לעיקרון. לתלמידים המתקדמים זו הזדמנות לבנות את השלב הַמֶטָא-קוגְניטיבי. למתקשים זו הזדמנות לעקוב שלב שלב אחר הדרך המובילה לפתרון הנדרש ולבנייה של תהליכים קוגניטיביים שישרתו אותם במשימות חדשות. מיד לאחר שהתהליך הובן, בא התרגול שמטרתו: שליטה, הפנמה והתמודדות עם תרגילים או בעיות המעוררים שאלות חדשות. המורה יכול לשנות את סדר ההוראה. למשל, קודם לתת לתלמידיו לפתור חלק מהמשימות ואחר כך לפתוח בדיון.כל נושא פותח בספר התלמיד ובצמוד אליו ספר המורה המסביר ומרחיב את היריעה. בחוברות ימצא התלמיד סיכום של הדיון הכיתתי. כדי להבטיח קריאה מעמיקה ופעילה על הלומד להשלים משפטים ורעיונות. יישום כל העקרונות מתרחש בהדרגה בתהליך ספירלי. כל נושא חדש ניסמך על שילוב החדש בישן. בתום הפעילות בחוברת התלמיד והיישום של העקרונות בפתרונות – מומלץ לערוך דיון מסכם. המבנה הזה מיועד ליצירת תרבות חשיבה של חיפוש עצמי, חקר, בדיקה, אנאליזה, ביקורת ויישום עקרונות. הגישה הכלל-תרבותית למתימטיקה מחייבת תרגול רב שעיקרו תרגום פנים-מתמטי, למשל: משבר פשוט לעשרוני,וממתימטיקה לתופעות חוץ-מתמטיות. למשל, משמעות היחס בין הייבוא לייצוא במדינה. פיתוח מודעות לתהליכי החשיבה סולל את הדרך להפעלתן בנסיבות משתנות, את הרובד הזה מפתח השלב האנאליטי של הפתרון והחיפוש אחר תחומים אחרים שהבנתם מחייבת הפעלה של אותם מבני חשיבה. כדי להימנע מתרגול אוטומטי, שאינו דורש השקעה של חשיבה, שולבו בבעיות שעל התלמיד לפתור גם כאלה שאין להן נגיעה ישירה לפרק הנלמד, בעיות בלתי פתירות או בעיות שיש בהן נתונים עודפים. פה ושם שולבו בעיות ששייכות לפרקים מתקדמים, שנועדו למי שתפס את העקרונות ויהיה מסוגל לענות עליהן, למרות החידוש שבהן. בעיות אלה מלמדות אם אכן נרכשו העקרונות המתאימים, הן מהוות אתגר לתלמיד ומהוות גשר טבעי לנושא חדש. ספר המורה נגיש גם לתלמיד, אם כי יש בו פתרונות שאולי חלק מהלומדים עלולים להעתיקם. הנזק שעלול להיגרם משימוש כזה באתר אינו רב, כי במתן התשובות יש הסבר איזה תהליך הוביל אליהן. במקרים מסויימים יוכל המורה אפילו לקרוא את התשובות עם תלמידיו ולשתף אותם בתהליך ההוראה ואפילו לפתח אצלם אוריינות לשונית, כלומר, לפתח את היכולת לקרוא טקסט בעברית בנושאים מתימטיים ואחרים ולהבינם. האיזון בין משמעת מתמטית לחשיבה יצירתית המתימטיקה מאופיינת במשמעת נוקשה עד כדי כך שאפילו אם הלומד מבין את כל המהלך הלוגי של פתרון ושוגה בפרט קטן כל התשובה תהיה שגויה. אם תלמיד שוגה בכתיב של מילה – ניתן לעיתים להבין את הכתוב על סמך ההקשר. מה שאין כן במתימטיקה, אם הפותר מחליף מספר במספר – ניטל המובן מכל הפעולה. חוקיה של המתימטיקה נוקשים. אינך יכול לומר בתחום המספרים הטבעיים ש – "3 ועוד 4 הם 19, כי כך אני מבין את זה, כי כך אני אוהב את זה", אם כי בחיים יש תחומים שבהם ניתן לומר "כך אני מבין את זה, כך אני אוהב את זה ". בנוסף למשמעת הפנימית החזקה הנדרשת מהעוסקים במתימטיקה, יש מקום ליצירתיות גם בה.אפשר לגוון דרכי פתרון, בתנאי שיישמרו הכללים המתמטיים. בחינתן של דרכים שונות לפתרון מפתחת גמישות מחשבתית וכושר המצאה. עם זאת, מוטב להיזהר שלא לפתוח את ההוראה ביצירתיות בטרם נרכשו והופנמו החוקים הנוקשים והמחייבים של המתימטיקה. משחקים מתמטיים אינם יכולים למלא את מקום הלימוד השיטתי והמחייב.לשעשועים כאלה יש משקל בפיתוח החשיבה אך ורק אצל מי שכבר רכש את הידע הבסיסי. לעניין זה אין המתימטיקה שונה מתחומים אחרים. אומנים דגולים ויצירתיים, כמו פיקאסו וְאֶשֶר, הגיעו לפריצות הדרך הגדולות שלהם על בסיס השליטה שלהם בחוקי היסוד של הציור. מה שנכון לגבי אמנות בוודאי ובוודאי נכון במתימטיקה. לעיתים, ריבוי של משחקים מתמטיים שבא על חשבון חשיבה שיטתית, יוצר אשליה של ידיעה. יצירתיות בטרם עת עלולה ליצור 'חורים' בידע הבסיסי במתימטיקה, להכשיל את התלמיד ולגרום לו שיחוש חוסר אונים בהתמודדות בלתי צפויה עם בעיות. זה ייחודה של המתימטיקה שכל מרכיביה אחוזים זה בזה ויש ללמדה שיטתית. הערות מעשיות באתר כתיב מלא ככל האפשר, כדי להקל על הלומד, לדוגמא: כדי להבחין בין כָּתבו ל- כִּתבו הוספנו י' אחרי ה-כּ, למרות כללי האקדמיה ללשון העברית. ב"ספר התלמיד" וב"ספר המורה" ההוראות הן בלשון רבים, והן מכוונות לשני המינים כאחד. במאמרים מופיע לעיתים לשון זכר, כדי למנוע עומס מילולי של זכר ונקבה (כמו: 'פתור/פתרי). מובן מאליו שהכוונה היא לשני המינים כאחד! פה ושם בידי המורה יש יותר בעיות מאשר בידי התלמיד, כדי לאפשר למורה תיווך ברמה גבוהה יותר. הפתרונות התשובות המילוליות, שעל התלמיד לענות ולשלב בטקסטים הנתונים, מוצגות בפתרונות שבספר המורה באותיות בצבע אדום. הפתרונות בספר המורה מלאים ומתארים את תהליך החשיבה. בחוברת התלמיד יופיעו רק פתרונות סופיים. לבעיות שהפתרונות שלהן מיידיים לא יינתנו לתלמיד פתרונות. סגנון התשובות אינו אחיד במכוון. גיוון בניסוח מְזַמֵן למורה הסברים ברמות שונות. רצוי שהתלמיד ישתמש במחברת כדי לפתור בעיות או להמציאן. כדי שהתלמיד יעקוב אחר הכתוב, משולבים בתוך הטקסט מקומות בהם התלמיד משלים משפטים. דרך כתיבה כזו מכוונת את התלמיד לקרוא את הכתוב תוך התייחסות לתוכן ומסייעת למורה לעקוב אחר מידת ההבנה והריכוז של התלמיד. השלמת המשפטים יכולה להיעשות: בעל-פה, בחוברת, במחברת, או במחשב, לפי צרכי ההוראה. סימון של קו לצורכי השלמת המשפטים, או לצורכי הפתרון, אינו מרמז על אורך התשובה. במקרים מסוימים יש יתרון רב להעתקת המשפט או המשפטים השלמים למחברת כדי לבצע את השלמתם. ההעתקה כזו עשויה לתרום להפנמת החוקיות. בספר המורה, בראש כל יחידה, יש רשימת מטרות המתבססות על התיאוריה של הניסיון התיווכי של פרופ' ראובן פוירשטיין. המעיין בהן יוכל לגלות קו מנחה להוראה. בכל נושא בנפרד "ספר המורה" צמוד ל"ספר התלמיד". מומלץ לתת לתלמיד ללמוד בהתחלה רק מהחלק המיועד לו, אבל ברור מאליו שהוא עשוי לפנות גם ל"ספר המורה", ואף לשלוף משם את תשובותיו. אפשר להשתמש בסיטואציה הזאת לקידום כישוריו של התלמיד בהבנת הנקרא ובסיכום תהליכי חשיבה. הערה: באתר המקורי הופרד לגמרי "ספר המורה" מ"ספר התלמיד", במהדורה הנוכחית לכל פרק שמכוון לתלמיד צמוד הפרק המתאים לו ב"ספר המורה".

 
 
ספר חשבון לתלמיד
ספר חשבון למורה
1. מספרים טבעיים
2. מובני השבר
3. המשמעות של חיבור וחיסור שברים
4. הרחבה וצמצום
5. צמצום והרחבה - חיבור וחיסור
6. חיבור וחיסור מספרים מעורבים
7. כפל וחילוק של שברים פשוטים
8. השלם וחלקיו
9. מציאת השלם מהחלק בשברים וב-%
10. היחס בין המרכיבים הכמותיים
11. יותר ופחות משלם
12. הכרת השבר העשרוני
13. חיבור וחיסור שבר עשרוני
14. כפל וחילוק שבר עשרוני
15. השבר העשרוני ואחוזים
הנדסה לתלמיד
הנדסה למורה
הנדסה - כיתות ד'
הנדסה - כיתות ה'
הנדסה - יחידות
הנדסה - חישובי שטחים









.תלמה גביש ז"ל יצרה את חומרי הלימוד עבור הלומדים והמלמדים. השימוש בחומרים מותר תוך ציון שם הַמְחַבֶּרֶת