איך אני חושב על בעיותי? בצורה מוחשית ושיטתית. (קרל פרידריך גאוס, 1777 – 1855) מדוע המתמטיקה קשה? משתי סיבות. האחת – היא מופשטת. השנייה – היא בנויה קומה על גבי קומה. יש המון קומות, ואסור לפספס קומה שעליה מנסים לבנות את הקומה הנוכחית. מה התרופה? הפתרון לבעיה הראשונה הוא לימוד דרך המוחש. התנסות בעצמים והסתכלות בדוגמאות. הפתרון לבעיה השנייה היא שיטתיות, וזה לא תמיד קל, כי חלק מן הקומות קשות להבחנה. נדמה שהן מובנות מאליהן, כשבעצם הן לא. מכאן נובע ששני העקרונות הראשונים בהוראת המתמטיקה הם בדיוק אלו שעליהם הצביע גאוס בציטוט לעיל מוחשיות ושיטתיות. לאלו מצטרף עיקרון מרכזי שלישי: שימוש במילים. כלומר ניסוח מדויק של העקרונות. מילים הן המלט של החשיבה. הן מאפשרות תקשורת, בינך לבין אחרים ובינך לבין עצמך, והן כלי מהותי לזכירה. הן אלו שמייצבות את הקומה הנוכחית כדי שאפשר יהיה לבנות עליה את הבאה. וראה זה פלא. שלוש מהפכות חינוכיות התחוללו בחמישים השנים האחרונות, וכל אחת מהן ויתרה על אחד מן העקרונות האלו. זה מפליא, אבל לא בלתי ניתן להסבר. את ההסבר ניתן להלן. ראשונה הייתה ה"מתמטיקה החדשה", שויתרה על לימוד דרך המוחש. כחלק מן המירוץ המדעי עם רוסיה, החליטה ארצות הברית בשנות השישים של המאה ה-20 להפוך את ילדיה למדענים קטנים. ופירושו של זה היה להתחיל ישר מן ההפשטות. הכשלון לא איחר לבוא, והשיטה נזנחה בארה"ב בשנות השבעים. זה לא מנע מאנשי חינוך מארצות אחרות שעשו את עבודת הדוקטורט שלהם בארה"ב באותה תקופה להביא את השיטה לארצותיהם. יותר מכל סבלה מכך ישראל, שבה הונהגה בעקבות זאת ה"שיטה התבניתית", הידועה בפי העם כ"שיטת הבדידים". שנייה הייתה מהפכת החקר, של שנות השמונים והתשעים. היא חרתה על דגלה את הסיסמה של "גילוי עצמי", אבל למעשה התוצאה העיקרית הייתה ויתור על לימוד שיטתי, שהוחלף בפעילויות לא מסודרות. היום נלמד חיסור, מחר חילוק. הכישלון הצפוי הוביל ל"מלחמות המתמטיקה" המפורסמות, שבהן יצאו מתמטיקאים והורים אמריקאים נגד הגישה. ושוב, הדבר לא מנע אנשי חינוך מלייבא את השיטה לארצותיהם. המהפכה המשמעותית ביותר עברה כמעט ללא ויכוח. מסיבה שאינה ברורה היא נחשבת כיום למובנת מאליה. ביטויה על פני השטח הוא בשינוי מערך הישיבה בכיתות ובמבנה השיעור. המורה שוב אינה מנהיגת הכיתה, אלא היא מנהלת שיעור פרטי עם כל ילד לחוד. כל ילד מתקדם על פי הקצב שלו. הסיסמה הייתה "התלמיד במרכז". לאמיתו של דבר הייתה התוצאה "המורה בצד". הדבר שינה את מעמדה של המורה בכיתה ובחברה, את הלכידות של הכיתה ואת יכולת התלמידים לתקשר זה עם זה. אבל מעבר לכל אלה היה גם שינוי סמוי יותר: ויתור על הדיון הכיתתי. פירוש הדבר הוא פחות המללה. שלושים ילדים יכולים לייצר יותר רעיונות, ולבחון דברים מיותר צדדים, מאשר ילד אחד. הויתור על הכלי הזה פירושו שכל ילד מקבל פחות זמן דיון. יש פחות דיבור, ויותר תרגול. למעשה, הדבר הפך לאידיאולוגיה. בתוכנית הלימודים הישראלית מוכרז במפורש שאין לדבר עם הילדים על "כופל" ו"נכפל", "מחלק" ו"מחולק". מדוע כל זה קרה מהי הדרך הארוכה ביותר בין שתי נקודות? – קיצור דרך. ועתה, להסבר. מדוע ויתרו דווקא על העקרונות החשובים ביותר? מילת הקסם היא "קיצור דרך". לכל אורך תולדות החינוך ניסו אנשי החינוך לחסוך לתלמידים עבודה. המקרה המפורסם ביותר הוא של הוראת הקריאה. הקריאה ב"מילים שלמות" ניסתה לחסוך לילדים את לימוד החיבור בין אות וצליל. התוצאה הייתה כמובן מאמץ גדול יותר. גישת החקר טענה שאין צורך במאמץ של לימוד שיטתי – אפשר לדלג על חלק מן השלבים. הגישה של הימנעות מניסוחים מדויקים מנסה לחסוך מן הילדים את לימוד המונחים. האמת היא שילדים אוהבים מונחים, והם זקוקים להם. במתמטיקה, כמו בחיים בכלל, אי אפשר לחסוך עבודה. עקרונות ספרי סינגפור ספרי סינגפור כתובים על פי שלושת העקרונות שהוצגו לעיל. הם מנסים (ובדרך כלל מצליחים, אף כי לא תמיד עד הסוף) להיות שיטתיים. הם מבוססים על עבודה עם כל הכיתה. והם מתחילים במוחש. צריך רק להסתכל כמה הם מעודדים את התלמיד למנות עצמים בשלב של לימוד המספר, ולקבץ עשרות בלימוד השיטה העשרונית. וצריך לראות עד כמה הספרים מעודדים סיפור של "סיפורים חשבוניים". הנה רשימה מפורטת יותר של העקרונות: 1. דגש על משמעות הפעולות. 2. דיון בדקויות של משמעות. 3. התנסות מוחשית. הליכה מן המוחש לציורי למופשט. 4. המללה. 5. הוראה "תיווכית", שבה העקרונות מגיעים מן הילד. 6. שיטתיות ("אמירת כל האמת") 7. מיקוד ("רק האמת") 8. הימנעות מקיבוע – לימוד כל מושג בעזרת הדגמות שונות ומודלים רבים.

#_lt#div#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt#  #_lt#/span#_gt# #_lt#div class="Section1"#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#            #_lt#/span#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#איך אני חושב על #_lt#span class="SpellE"#_gt#בעיותי#_lt#/span#_gt#? בצורה מוחשית ושיטתית.#_lt#br#_gt#             (קרל פרידריך גאוס, 1777 – 1855)#_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#מדוע המתמטיקה קשה? משתי סיבות. האחת – היא מופשטת. השנייה – היא בנויה קומה על גבי קומה. יש המון קומות, ואסור לפספס קומה שעליה מנסים לבנות את הקומה הנוכחית. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#מה התרופה? הפתרון לבעיה הראשונה הוא לימוד דרך המוחש. התנסות בעצמים והסתכלות בדוגמאות. הפתרון לבעיה השנייה היא שיטתיות, וזה לא תמיד קל, כי חלק מן הקומות קשות להבחנה. נדמה שהן מובנות מאליהן, כשבעצם הן לא. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#מכאן נובע ששני העקרונות הראשונים בהוראת המתמטיקה הם בדיוק אלו שעליהם הצביע גאוס בציטוט לעיל מוחשיות ושיטתיות. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#לאלו מצטרף עיקרון מרכזי שלישי#_sc# שימוש במילים. כלומר ניסוח מדויק של העקרונות. מילים הן המלט של החשיבה. הן מאפשרות תקשורת, בינך לבין אחרים ובינך לבין עצמך, והן כלי מהותי לזכירה. הן אלו שמייצבות את הקומה הנוכחית כדי שאפשר יהיה לבנות עליה את הבאה. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#וראה זה פלא. שלוש מהפכות חינוכיות התחוללו בחמישים השנים האחרונות, וכל אחת מהן ויתרה על אחד מן העקרונות האלו. זה מפליא, אבל לא בלתי ניתן להסבר. את ההסבר ניתן להלן. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#ראשונה הייתה ה"מתמטיקה החדשה", שויתרה על לימוד דרך המוחש. כחלק מן #_lt#span class="SpellE"#_gt#המירוץ#_lt#/span#_gt# המדעי עם רוסיה, החליטה ארצות הברית בשנות השישים של המאה ה-20 להפוך את ילדיה למדענים קטנים. ופירושו של זה היה להתחיל ישר מן ההפשטות. #_lt#span class="SpellE"#_gt#הכשלון#_lt#/span#_gt# לא איחר לבוא, והשיטה נזנחה בארה"ב בשנות השבעים. זה לא מנע מאנשי חינוך מארצות אחרות שעשו את עבודת הדוקטורט שלהם בארה"ב באותה תקופה להביא את השיטה לארצותיהם. יותר מכל סבלה מכך ישראל, שבה הונהגה בעקבות זאת ה"שיטה התבניתית", הידועה בפי העם כ"שיטת הבדידים". #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#שנייה הייתה מהפכת החקר, של שנות השמונים והתשעים. היא חרתה על דגלה את הסיסמה של "גילוי עצמי", אבל למעשה התוצאה העיקרית הייתה ויתור על לימוד שיטתי, שהוחלף בפעילויות לא מסודרות. היום נלמד חיסור, מחר חילוק. הכישלון הצפוי הוביל ל"מלחמות המתמטיקה" המפורסמות, שבהן יצאו מתמטיקאים והורים אמריקאים נגד הגישה. ושוב, הדבר לא מנע אנשי חינוך מלייבא את השיטה לארצותיהם. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#המהפכה המשמעותית ביותר עברה כמעט ללא ויכוח. מסיבה שאינה ברורה היא נחשבת כיום למובנת מאליה. ביטויה על פני השטח הוא בשינוי מערך הישיבה בכיתות ובמבנה השיעור. המורה שוב אינה מנהיגת הכיתה, אלא היא מנהלת שיעור פרטי עם כל ילד לחוד. כל ילד מתקדם על פי הקצב שלו. הסיסמה הייתה "התלמיד במרכז". #_lt#span class="SpellE"#_gt#לאמיתו#_lt#/span#_gt# של דבר הייתה התוצאה "המורה בצד". הדבר שינה את מעמדה של המורה בכיתה ובחברה, את הלכידות של הכיתה ואת יכולת התלמידים לתקשר זה עם זה. אבל מעבר לכל אלה היה גם שינוי סמוי יותר#_sc# ויתור על הדיון הכיתתי. פירוש הדבר הוא פחות #_lt#span class="SpellE"#_gt#המללה#_lt#/span#_gt#. שלושים ילדים יכולים לייצר יותר רעיונות, ולבחון דברים מיותר צדדים, מאשר ילד אחד. הויתור על הכלי הזה פירושו שכל ילד מקבל פחות זמן דיון. יש פחות דיבור, ויותר תרגול. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#למעשה, הדבר הפך לאידיאולוגיה. בתוכנית הלימודים הישראלית מוכרז במפורש שאין לדבר עם הילדים על "כופל" ו"נכפל", "מחלק" ו"מחולק".#_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#            #_lt#strong#_gt#מדוע כל זה קרה#_lt#/strong#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal" style="text-indent#_sc# 36pt;"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#מהי הדרך הארוכה ביותר בין שתי נקודות? – קיצור דרך. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#ועתה, להסבר. מדוע ויתרו דווקא על העקרונות החשובים ביותר? מילת הקסם היא "קיצור דרך". לכל אורך תולדות החינוך ניסו אנשי החינוך לחסוך לתלמידים עבודה. המקרה המפורסם ביותר הוא של הוראת הקריאה. הקריאה ב"מילים שלמות" ניסתה לחסוך לילדים את לימוד החיבור בין אות וצליל. התוצאה הייתה כמובן מאמץ גדול יותר. גישת החקר טענה שאין צורך במאמץ של לימוד שיטתי – אפשר לדלג על חלק מן השלבים. הגישה של הימנעות מניסוחים מדויקים מנסה לחסוך מן הילדים את לימוד המונחים. האמת היא שילדים אוהבים מונחים, והם זקוקים להם. במתמטיקה, כמו בחיים בכלל, אי אפשר לחסוך עבודה. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#            #_lt#strong#_gt#עקרונות ספרי סינגפור#_lt#/strong#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#ספרי סינגפור כתובים על פי שלושת העקרונות שהוצגו לעיל. הם מנסים (ובדרך כלל מצליחים, אף כי לא תמיד עד הסוף) להיות שיטתיים. הם מבוססים על עבודה עם כל הכיתה. והם מתחילים במוחש. צריך רק להסתכל כמה הם מעודדים את התלמיד למנות עצמים בשלב של לימוד המספר, ולקבץ עשרות בלימוד השיטה העשרונית. וצריך לראות עד כמה הספרים מעודדים סיפור של "סיפורים חשבוניים". #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt# #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#הנה רשימה מפורטת יותר של העקרונות#_sc##_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="text-indent#_sc# -18pt;"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;"#_gt#1.       #_lt#/span#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#דגש על משמעות הפעולות. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-indent#_sc# -18pt;"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;"#_gt#2.       #_lt#/span#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#דיון בדקויות של משמעות. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-indent#_sc# -18pt;"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;"#_gt#3.       #_lt#/span#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#התנסות מוחשית. הליכה מן המוחש לציורי למופשט.#_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-indent#_sc# -18pt;"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;"#_gt#4.       #_lt#/span#_gt##_lt#span class="SpellE"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#המללה#_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#.#_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-indent#_sc# -18pt;"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;"#_gt#5.       #_lt#/span#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#הוראה "#_lt#span class="SpellE"#_gt#תיווכית#_lt#/span#_gt#", שבה העקרונות מגיעים מן הילד. #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-indent#_sc# -18pt;"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;"#_gt#6.       #_lt#/span#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#שיטתיות ("אמירת כל האמת")#_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="text-indent#_sc# -18pt;"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;"#_gt#7.       #_lt#/span#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#מיקוד ("רק האמת")#_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoListParagraphCxSpLast" style="text-indent#_sc# -18pt;"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;"#_gt#8.       #_lt#/span#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt#הימנעות מקיבוע – לימוד כל מושג בעזרת הדגמות שונות ומודלים רבים.  #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#p class="MsoNormal"#_gt##_lt#span style="font-size#_sc# medium;"#_gt##_lt#span style="line-height#_sc# 115%;" lang="HE"#_gt# #_lt#/span#_gt##_lt#/span#_gt##_lt#/p#_gt# #_lt#/div#_gt# #_lt#/div#_gt#