דף הבית אודות תלמה גביש מאמרים סרטונים ביבליוגרפיה ספרים מומלצים צור קשר
לפניכם פתרונות למקבץ של הבעיות המסכמות והצעות לדיונים לגבי שלבי הפתרון.

2) פרה אכלה 4.3 ק"ג מספוא ביום הראשון. ביום השני אכלה 42.5% פחות מהיום הראשון. ביום השלישי אכלה 42.5% יותר מהיום השני. כמה אכלה בשלושת הימים? הפתרון במדורג: ביום א' הפרה אכלה 4.3 ק"ג ביוםב' אכלה באחוזים ביחס ליום א' % 57.5 = % 42.5 - % 100 אפשר לבטא זאת בשבר עשרוני: 0.575 = 57.5% 2.4725 = 0.575X4.3 ביום ג' 3.523 = 1.425X 2.4725 ביחד: 10.2955 ק"ג = 3.523 + 2.4725 + 4.3 תשובה: הפרה אכלה בשלושת הימים 10.3 ~ ק"ג מיספוא. רעיון לשיחה: איך ייתכן שביום ב' היא אכלה פחות ב - 42.5% וביום ג' היא אכלה יותר באותו אחוז ובכל זאת ביום ג' היא לא אכלה כמו ביום א'? כדי להסביר זאת טוב יותר כדאי להשוות את הבעייה הנתונה לבעייה הבאה: פרה אכלה 4.3 ק"ג מיספוא ביום הראשון. ביום השני אכלה 42.5 ק"ג פחות מהיום הראשון. ביום השלישי אכלה 42.5 ק"ג יותר מהיום השני. כמה אכלה בשלושת הימים? ולהראות את ההבדל בין עלייה וירידה בכמויות, לבין עלייה וירידה ביחסים. אם יורדים בכמות ב 42.5 ק"ג ואחר כך עולים באותה כמות - חוזרים לכמות הראשונה. באחוזים אין זה כך, כי האחוזים הם ביחס לשלם מסויים. גודל החלק המתקבל תלוי בְיחס לאיזה שלם נעשה החישוב. 3) מחירם הממוצע של ירקות שמשפחה בת 5 נפשות צורכת לשבוע עלה בחודש ינואר ב- 10% יותר מהמחיר הממוצע שלהם בחודש דצמבר שקדם לו. משפחה ממוצעת הוציאה בדצמבר על ירקות 1080 ש"ח . כמה הוציאה המשפחה על ירקות בחדשים דצמבר וינואר? [ איזה חודש קדם לשני לפי נתוני הבעייה? נמקו.] השיחה על רצף החדשים מחוייבת המציאות. הילדים למדו שדצמבר הוא החודש האחרון וינואר הוא הראשון, מכאן שדצמבר הוא אחרי ינואר. כדאי לשוחח על הנושא ולהביא את הכיתה להבנה שדצמבר בא אחרי ינואר באותה שנה. בבעייה שלנו מדובר על דצמבר של השנה הקודמת. בדצמבר 1080 ש"ח בינואר 1188 = 1.1X1080 בשני החדשים : סכום התוצאות. 1080 + 1188 4) בתחילת העונה התייקר זוג נעליים ב – 10% . בסוף העונה הוא הוזל ב – 10% . מתי הוא היה יקר יותר בתחילת העונה או בסופה? בעייה זו קשה וחשובה להבנת האחוזים והיחס. אין בה גודל כמותי. במקרה כזה נכנה את השלם כ – 100% . לאחר ההתייקרות המחיר היה 110% . ההוזלה חלה על ה – 110% . לאחר ההוזלה שווי הנעליים יהיה 90% מערכם האחרון. כלומר, 90% של 110% . כלומר : 99% = 0.9X110 . המסקנה היא שבאחוזים אם יש העלאה באחוז מסויים ואחר כך יש הוזלה באותו אחוז אין חוזרים לכמות המקורית. כשיש תוספת כמותית מסויימת ולאחריה הורדה של אותה כמות – חוזרים לכמות המקורית. לצורך השוואה כדאי לתת דוגמא. למשל, מחיר נעליים עלה ב – 12 ש"ח, אחר כך הוזל ב – 12 ש"ח מה היה המחיר הסופי? בבעיות כאלה מוסיפים ומפחיתים אותה כמות. לעומת זאת, אחוזים הם תמיד ביחס לגודל היסודי. שינוי בגודל היסודי משנה גם את החלק הכמותי. 5) בשוק מכרו שמלה ב – 42% ממחירה בחנויות פאר. אישה שלא ידעה זאת קנתה את השמלה בחנות פאר ושילמה עבורה 249 ש"ח. כמה כסף הייתה חוסכת אם במקום לקנות בחנות הפאר הייתה קונה אותה בשוק? החיסכון: = 0.58X249 ההסבר: בשוק היא נמכרה ב – 42% מהמחיר. כלומר, ב - 58% פחות מהמחיר בחנות. 6) בשנה האחרונה הצטרפו ליישוב קהילתי בגליל 32 משפחות. כך גדל מספר המשפחות ביישוב ב – 16%. כמה משפחות גרות באותו יישוב לאחר ההצטרפות? 32 המשפחות הן 16% . נחלק את 32 ל – 16 ונקבל ערכו של אחוז אחד. 2 משפחות הן אחוז אחד מכלל המשפחות שהיו בהתחלה. אנחנו מחפשים 116% , כי זה האחוז לאחר התוספת. [ 100% שהיו בתחילה והתוספת של 16% ], על כן נכפול את 2 ב – 116. התרגיל: תשובה: לאחר התוספת יהיו ביישוב 232 משפחות. 7) מחירו של ספר 68 ש"ח. לקראת שבוע הספר הוא הוזל ב – 30% ממחירו. כמה שילם עבורו הקונה בשבוע הספר? כפי שצויין פעמים רבות, יש לעודד את התלמידים להחסרת האחוזים בטרם יגיעו לחישוב, ולא לפתור בדרך זו: חישוב של 30% מ - 68 והורדת הסכום הזה ממחיר הספר. הספר נמכר ב – 70% ממחירו. התרגיל : = 0.7X68 8) 250 מטר הם %_________ מ - 7 ק"מ. השימוש ביחידות משולב בחיי היומיום. היחסים בין היחידות מסייעים להפנמתם ותורמים להעמקת המושגים: סדר גודל ומכנה משותף. היחס בין 250 מ' לבין 7 ק"מ מחדד את חוש האומדן . מורה שמוצא לנכון להרבות בסוג כזה של פעילות יכול על נקלה להמציא תרגילים כאלה לבד. יש שתי דרכים לפתרון: במטרים או בקילומטרים. הפתרון במטרים: 7 ק"מ = 7000 מ'. 250 הם החלק. 7000 הוא השלם, הוא הגודל היסודי שביחס אליו נעשים החישובים. היחס בין 250 מ' ל – 7000 מ' הוא: 9) קבוצת תלמידים יצאה לטיול. ביום הראשון עברו 3/8 ממסלול הטיול. ביום השני 2/5 מהמרחק שנותר. ביום השלישי ב – 80 ק"מ יותר מאשר ביום השני. מה המרחק שעברו בשלושת ימי הטיול? כל בעייה של הפרש החלקים קשה ללומד, במיוחד כאשר הנתונים הם בשבר פשוט. קושי נוסף בבעייה זו הוא מציאת יחס מתוך יחס. הפתרון: יום א' 3/8 נותרו 5/8 יום ב' 2/5 מ – 5/8 התרגיל: ה – 1/8 הזאת היא 80 הק"מ. כל הדרך היא 8/8 . כדי למצוא את כל הדרך עלינו לכפול את 80 ב – 8. כדאי לעורר שיחה שתוביל למסקנה שהחוקים שלמדנו שכפל השלם ביחס כדי למצוא את החלק וחילוק החלק ביחס כדי למצוא את השלם אינם מספיקים לפתירת בעייה של הפרש החלקים. שיחה כזו חשובה במיוחד לתלמידים שנאחזים בטכניקה ואינם מנסים להתמודד עם התהליכים שמובילים לפתרון. בדרך זו מראים להם שאין די בפתרון נכון, יש להשקיע בהבנת העקרונות. 10) בתחילת שנת 1999 עבדו בבית-חרושת 300 עובדים ועובדות. העובדות היוו 60% מכלל העובדים. לרגל הרחבת בית-החרושת התקבלו לעבודה בו עובדים נוספים ואז היוו העובדים 60% מכלל העובדים במפעל. מספר העובדות נשאר כשהיה. כמה עובדים נוספו לבית החרושת? הפתרון מספר העובדות: 180 = 0.6X300 לאחר התוספת של עובדים, העובדות הפכו להיות 40% מכלל העובדים. 180 העובדות הן עכשיו 40% מכלל העובדים. נחלק את 180 ב - 40 ונקבל כמה עובדים הם אחוז אחד מכלל העובדים. נכפול את התשובה ב - 100 ונקבל את המספר הכולל של כל העובדים. מספר כלל העובדים: הסבר נוסף: הבעייה מורכבת משני שלבים: א) מציאת החלק מהשלם. ניכפול את 300 ב - 0.6. ב) מציאת השלם מהחלק. נחלק את 180 ב - 0.4. ההסבר: העובדות, שהן 180 הן 40%. כדי לדעת כמה עובדים יש בסך הכל נחלק את 180 ב - 0.4. 11) מחירו של מוצר עלה ב – 30% וירד לאחר מכן ב – 25% . הקיפו בעיגול את התשובה הנכונה. נמקו. המחיר החדש: שווה למחיר המקורי. גדול מהמחיר המקורי. תלוי במחיר המקורי. כדי לבחור במענה הנכון חייבים לפתור את התרגיל. מחיר ראשוני 100% . לאחר התוספת 130% . לאחר הורדה ב – 25% 97.5% = 0.75X130 97.5% הם פחות מ - 100% . 12) 40% מתלמידי בית הספר יצאו לטיולים. יתר התלמידים נשארו ללמוד כרגיל. מספרם של המטיילים היה קטן ב – 180 ממספר הנשארים. כמה תלמידים נשארו בבית הספר? ההפרש באחוזים: 40% מטיילים, 60% נשארים , 20% ההפרש ביניהם. 20% הם 180. ערך אחוז אחד: 9 תלמידים = 20 : 180 אנחנו מחפשים 60% על כן ניכפול ב - 60. 60% הם : 60X9 יעיל יותר לכתוב זאת בתרגיל אחד: 13) דפנה קיבלה 60 ש"ח דמי כיס. 35% מתוכם נועדו להחזרת חובותיה. כמה כסף נשאר לה? התרגיל: 0.65X 60 14) מכונית נסעה בכביש שהמהירות המכסימלית המותרת בו 50 ק"מ לשעה. לאחר מספר ק"מ השתלבה בנסיעה בכביש המהיר שהמהירות המכסימלית המותרת בו היא 90 ק"מ. בכמה אחוזים יכלה להגביר את מהירותה? יש שתי דרכים אפשריות: א) התרגיל: ב) התרגיל: היתה עלייה ב – 40 קמ"ש, שזו עלייה של 80% לעומת המהירות הקודמת, לפי: 15) ילד החליט לחסוך בתכנית חיסכון ל – 3 שנים. הריבית השנתית בתכנית הזאת הייתה לפי 7%. בתום כל שנה מצטרפת הריבית לקרן. כמה כסף יהיה לילד בבנק לאחר 3 שנים אם הוא הפקיד בו סכום של 480 ש"ח ולא נגע בו במשך 3 שנים? בסוף השנה הראשונה היו לו : 513.6 = 1.07X 480 בסוף השנה השנייה: 549.552 = 1.07X 513.6 בסוף השנה השלישית: 588 = 1.07X549.552 אפשר לפתור בתרגיל אחד: אפשר להשתמש בחוקי החזקות: 16) תייר בדק שתי הצעות מחיר לטיול באירופה. המחיר הראשון שהוצע לו היה: 985 דולר. המחיר השני היה 1250 דולר. בכמה אחוזים הייתה ההצעה שנייה גדולה מהראשונה? ההצעה הראשונה התייחסה לטיול של 12 יום. ההצעה השנייה לטיול של 18 יום באותם התנאים. איזו משתי ההצעות כדאית יותר מבחינת ההוצאה ליום? התרגיל: מטרת החלק השני של הבעייה להראות ללומדים שיש לשקול הצעות כאלה מהיבטים שונים. במבט ראשון הטיול הראשון נתפס כזול יותר, אבל בבדיקה מדוקדקת יותר הוא למעשה היקר מבין השניים. בטיול הראשון ההוצאה ליום הייתה: 82 = 12 : 985 בשני: 69.4 = 18 : 1250

 
 
לכתבה הבאה בנושא:

 
15. השבר העשרוני ואחוזים

תגובות: 0
צפיות: 2
ספר חשבון לתלמיד
ספר חשבון למורה
1. מספרים טבעיים
2. מובני השבר
3. המשמעות של חיבור וחיסור שברים
4. הרחבה וצמצום
5. צמצום והרחבה - חיבור וחיסור
6. חיבור וחיסור מספרים מעורבים
7. כפל וחילוק של שברים פשוטים
8. השלם וחלקיו
9. מציאת השלם מהחלק בשברים וב-%
10. היחס בין המרכיבים הכמותיים
11. יותר ופחות משלם
12. הכרת השבר העשרוני
13. חיבור וחיסור שבר עשרוני
14. כפל וחילוק שבר עשרוני
15. השבר העשרוני ואחוזים
הנדסה לתלמיד
הנדסה למורה
הנדסה - כיתות ד'
הנדסה - כיתות ה'
הנדסה - יחידות
הנדסה - חישובי שטחים









.תלמה גביש ז"ל יצרה את חומרי הלימוד עבור הלומדים והמלמדים. השימוש בחומרים מותר תוך ציון שם הַמְחַבֶּרֶת