דף הבית אודות תלמה גביש מאמרים סרטונים ביבליוגרפיה ספרים מומלצים צור קשר
אפשר להציג יחס באחוזים ואפשר להציגו בשברים פשוטים. לכל הצגה יתרונות וחסרונות משלה.

הפרש החלקים זו תת-יחידה קשה במיוחד, לכן במדריך למורה יש בעיות שאינן בחוברת התלמיד. שלא כמו בפרקים הקודמים, מומלץ לפתוח את ההוראה בחומר הזה. הדיון במליאה בפרטי התהליך – קשה ולא כדאי לסמוך על הנחיות כתובות בלבד. מטרות היחידה - להציג בעיות שנתון בהן הפרש חלקים בגודל כמותי וביחס. - להבחין בין הפרש חלקים מבחינה כמותית להפרשם מבחינת היחס. - להפיק את מלוא המידע האפשרי מנתונים על הפרש חלקים. - להצביע על היתרון של השימוש באחוזים בבעיות מהסוג הזה. - להעמיק את ההבנה של הפיתרון באמצעות מציאת ערך היחידה. תת-מטרות - לפרק בעייה קשה למרכיביה כדגם לטיפול נאות בבעיות קשות. - להיות מודע ליכולת להפיק מידע מנתונים. מושגים המטופלים ביחידה יחסי הכלה, אחוז, ערך האחוז ,שיטה כוללת, מקרים פרטיים, תקציב. בעיות קשות שפתרונן מצריך תהליכי חשיבה שנילמדו בעבר משמשות ביקורת למורה ולתלמיד על מידת ההבנה והיכולת להשתמש בעקרונות סוג זה של בעיות קשה במיוחד לתלמידים. כדאי לפתור תחילה בעיות מסוג זה באחוזים, כי הן קלות יחסית בגלל המכנה המשותף – 100 . ההמלצה להציג לפני הכיתה בעייה שאינה בספר התלמיד נותנת , בין היתר, כלי בידי המורה לבחון את מידת השליטה של התלמידים בנושאים שנלמדו, את היכולת שלהם להגמיש את מחשבתם ולהתמודד עם החדש. ככל שהתלמידים מצליחים לפתור את הבעיות החדשות לבד – כך הצלחת העבודה המכינה גדולה. המורה יוכל לבחון את הישגיו והישגי תלמידיו בעזרת מידת הצלחתם בפיתרון בעיות מעין אלה. בעייה במציאת השלם על פי הפרש החלקים: במחלקה אחת של מפעל מועסקים 12% מהעובדים במפעל, במחלקה השנייה מועסקים 20% מהעובדים בו. במחלקה הראשונה יש 56 עובדים פחות מהמחלקה השנייה. כמה עובדים במפעל? דוגמא לדיון אפשרי: ש: מה הצעד הראשון שעלינו לעשות? ת: למצוא כמה חלקים יש בגודל הכמותי. ש: מהו הגודל הכמותי? ת: 56. ש: באיזה סוג של חלקים אנחנו מטפלים? ת: באחוזים. ש: כמה אחוזים יש בתוך 56? ת: 8%. ש: איך הגעת לזה? ת: במחלקה א' 12% מהעובדים. במחלקה ב' 20% מהעובדים. במחלקה א' יש 8% פחות מב'. 8% זה ההפרש באחוזים. ש: מה צריך לעשות עכשיו? ת: למצוא ערך של אחוז אחד. כמה הוא שווה מבחינה כמותית. ש: איך נעשה זאת? ת: המספר 56 מכיל בתוכו 8%. כדי למצוא ערך של אחוז אחד נחלק את 56 ל – 8. ש: והצעד הבא? ת: נכפול במספר האחוזים שאנחנו מחפשים. אנחנו רוצים לדעת כמה עובדים בכל המפעל. אם כך, עלינו לחפש ערך של 100%. נכפול את ערכו של אחוז אחד ב – 100. ש: איך ייראה התרגיל? הפעלת התלמידים בהפקת מידע חדש מנתונים של בעייה מ: אלו שאלות נוספות אפשר לשאול על סמך הנתונים שבבעייה? ת: כמה עובדים יש במחלקות האחרות של המפעל. ש: איך יתבצע הפתרון? ת: נמצא ערך של אחוז אחד, כמו קודם. בשתי המחלקות א' ב' יש ביחד 32% מכלל העובדים. מכאן, שבשאר המחלקות יש 68%. נכפול את ערכו של האחוז האחד ב – 68 ונקבל כמה עובדים יש במחלקות האחרות. התרגיל ייראה כך: ש: על איזו שאלה נוספת אפשר לקבל תשובה לאור הנתונים שלנו? ת: אפשר לדעת כמה עובדים במחלקה א'. ניקח את ערכו של האחוז האחד ונכפילו ב – 12. כך: ש: האם יש עוד מידע שנוכל להפיק מנתוני הבעייה? ת: כן. כמה יש במחלקה ב'. במקום לכפול את ערכו של האחוז ב – 12 נכפול אותו ב – 20. ש: יש עוד מידע שנוכל להפיק מנתוני הבעייה? ת: כן. אפשר לדעת מיד כמה עובדים יש ביחד בשתי המחלקות. יש לנו ערך של אחוז אחד, בשתי המחלקות ביחד יש 32 אחוז, אז פשוט צריך להכפיל את ערך האחוז האחד ב – 32. התרגיל יהיה: ת: את זה אפשר היה לקבל גם בדרך אחרת. קודם חישבנו כמה עובדים יש בסך הכל, אחר כך קיבלנו כמה יש ביתר המחלקות. אם נחסיר את יתר המחלקות מסך כל העובדים – נקבל את מספרם של עובדי מחלקות א' וב'. ת: זו דרך מסורבלת. מ: מתי בכל זאת היא עשוייה לשרת אותנו? ת: לביקורת. מ: כאשר אנחנו בודקים אם לא שגינו לפעמים איננו מבחינים בשגיאה. אם ניתן לפתור בעייה בשני אופנים, כדאי לפתור בדרך אחת ולבדוק את נכונות התוצאה על ידי פתרון בדרך השנייה. דיון בנושא של העדפת פתרון אחד על משנהו, בגלל כלליותו ויעילותו עדיף לחשב קודם את האחוזים מאשר את הגדלים הכמותיים מ: עכשיו העלית בעייה מעניינת, מתי כדאי לבחור בדרך אחת ומתי באחרת. נחזור לסוג אחר של בעיות שלמדנו, נפתור אותן בשתי דרכים ונבדוק איזו מהן עדיפה. בחורשה נטעו 600 עצים. לאחר שנה גדל מספרם, בעיקבות ריבוי טבעי ותוספת נטיעות, ב – 7% . מה מספרם החדש? דרך א: ב – 600 יש 100% . נחלק ל – 100 כדי למצוא ערכו של אחוז אחד. נכפול ב – 107 כדי למצוא 107%, כלומר את מספר העצים לאחר הגידול. התרגיל: דרך ב': נחלק את 600 ב – 100, כדי למצוא ערכו של אחוז אחד. נכפול ב – 7 , כדי למצוא כמה היא התוספת. נחבר את התוספת ל – 600 ונדע כמה עצים יש עכשיו. התרגילים יהיו: מ: איזו דרך יעילה יותר? ת: בראשונה יש פחות פעולות. ת: גם בדרך הראשונה יש שתי פעולות. גם בה חיברנו קודם את 100 האחוזים ואת 7 האחוזים, אבל עשינו את זה בעל-פה. אחר כך כבר היתה לנו פעולה אחת. מ: בכל זאת, לאור מה שלמדנו, איזו דרך נעדיף? ת: את הדרך הראשונה, כי היא דומה מבחינת החשיבה, לכל הבעיות שלמדנו: קודם מוצאים ערך של יחידה, אחר כך כופלים במספר היחידות שאנחנו מחפשים. כדאי מיד לדעת כמה יחידות מחפשים בסך הכל. ת: אני רואה עוד סיבה למה דרך א' טובה יותר. לי היא עזרה להבין את יתר הבעיות. הדרך הזאת טובה גם למציאת השלם כשנתון גודל כמותי שהוא יותר או פחות מהשלם. כשנתון גודל כמותי לאחר התוספת או ההפחתה אי אפשר לפנות לשלם. במקרה הזה כדי לדעת כמה אחוזים יש במספר הנתון, מוכרחים לחבר או לחסר מראש את האחוזים. אני מעדיף תמיד לעבוד עם התוספת או ההפחתה של האחוזים. השיטה הזאת יותר כוללת. השיטה של חיפוש הכמות הנוספת או המופחתת מתאימה אך ורק למקרים פרטיים. אם יש דרך כללית יותר קל יותר להפנים אותה, והיא משרתת אותנו טוב יותר. את החיבור או החיסור של האחוזים אני עושה בעל-פה ואז התשובה מיידית. מ: אולי תתן לנו דוגמא? ת: הנה בעייה שאני ממציא: ארגז פרי הדר נמכר ב – 70 שקל. לקראת סוף העונה החליטו למכרו בהנחה של 10% ממחירו. כמה הוא עלה בסוף העונה? אני מחשב מיד כמה הם 90%. לא כדאי לי לחשב לחוד את ההנחה ולהוריד אותה מהמחיר המקורי. ואם במקום הנחה, הארגז יתייקר ב – 10% , אני אחשב מיד 110%. ש: מתי בכל זאת כדאי לחשב את עשרת האחוזים בנפרד? ת: כאשר מבקשים לדעת מה היתה ההנחה. מ: איך העיקרון הזה מתקשר לנושא שלנו? ת: גם בנושא שלנו כדי למצוא כמה אחוזים מכיל המספר הכמותי, מחברים או מחסרים את האחוזים מראש. רק אחר כך פונים למרכיב הכמותי. מ: נפנה לסוג נוסף. התבוננו בבעייה הבאה: 3/5 מתקציב חודשי של משפחה מוצא על מזון. 2/9 מתקציבה מוציאה המשפחה על דיור, ביגוד וחינוך. ההוצאה על המזון עולה על זו של דיור, ביגוד וחינוך ב – 3400 ש"ח. את היתר חסכה. מהו התקציב החודשי של המשפחה? מה יש לכם לומר עליה? ת: זו בדיוק אותה בעייה כמו קודם, אבל היא מוצגת בשברים ולא באחוזים. מ: אני מציע שנפתור אותה בשלבים ביחד. ת: ההפרש בחלקים בין המזון לבין: דיור, ביגוד וחינוך הוא: 3400 ש"ח הם 17/45 מכלל ההוצאה. כדי למצוא 1/45 ממנה נחלק את 3400 ב – 17. כל התקציב של המשפחה הוא השלם, לכן יש בו 45/45 חלקים. נכפול את 200 ב – 45 ונקבל שההוצאות החודשיות של המשפחה הן: 9000 ש"ח. ש: אילו שאלות נוספות אפשר לשאול על בסיס הנתונים של הבעייה? ת: כמה הוציאה המשפחה על מזון? ש: איך נפתור זאת? ת: נרחיב את 3/5 כדי להפוך אותו לשבר שמכנהו 45. אנחנו יודעים שכל 1/45 מהתקציב המשפחתי הוא 200 שקל. נכפול את 200 ב – 27 ונקבל 5400. 5400 שקל בחודש הוציאה המישפחה על מזון. ש: איזה מידע נוסף אפשר להפיק מהנתונים? ת: כמה הוציאה על דיור, ביגוד וחינוך? נהפוך את 2/9 לשבר שמכנהו 45 . אנחנו יודעים כמה שווה 1/45 מההוצאה. נוכל בקלות למצוא את התשובה. התרגיל ייראה כך: ההוצאה על הסעיפים האלה היתה 2000 ש”ח ת: אפשר גם לשאול כמה הוציאה בסך הכל על כל הסעיפים. פשוט נחבר את הסכומים. ת: על מזון, דיור, ביגוד וחינוך ביחד הוציאה המישפחה: מוצאים מה ערכו של חלק אחד של 1/45 על ידי חילוק 3400 ל – 45 . אחר כך מחפשים ערכם של 37/45 על ידי כפל ב – 45. התרגיל: המשפחה מוציאה על כל הסעיפים 7400 ש”ח לחודש. ת: אם נחסיר את הסכום הזה התקציב הכולל, נוכל לדעת כמה כסף המשפחה חוסכת. ת: בלי להתייחס למה שכבר פתרנו, כאילו זו בעייה חדשה, אפשר לשאול כמה המשפחה חוסכת לחודש. הפתרון בשלבים: איזה חלק מתקציבה המשפחה מוציאה בסך הכל? איזה חלק מתקציבה היא חוסכת? מה ערך כל 1/45 מהתקציב? כמה חסכה? 1600 = 8X200 היא חסכה 1600 ש"ח מ: האם אפשר לשאול עוד שאלות? ת: לא. השוואה בין בעייה המבוטאת באחוזים לבין בעייה המבוטאת בשברים מצביעה על עדיפות ניכרת של אחוזים על פני שברים למרות הגמישות שיש לשברים מ: נשווה בעייה זו לבעיית המחלקות במפעל. מה יש לכם לומר עליהן? ת: באחוזים הרבה יותר קל לפתור, כי הם מאיות ויש להם מראש מכנה משותף ובחיבור או בחיסור של החלקים אפשר לעשות את החישוב בעל-פה. מ: איזה יתרון בכל זאת יש לשברים בתחום הזה? ת: הם יותר גמישים. אפשר להשתמש בכל שבר שרוצים, לא תלויים במכנה מסויים. מ: גם בחיים, לכל דבר יש יתרונות וחסרונות משלו. עכשיו תוכלו לפתור את התרגילים שבספר.

 
 
לכתבה הבאה בנושא:

 
11. יותר ופחות משלם

תגובות: 0
צפיות: 2
ספר חשבון לתלמיד
ספר חשבון למורה
1. מספרים טבעיים
2. מובני השבר
3. המשמעות של חיבור וחיסור שברים
4. הרחבה וצמצום
5. צמצום והרחבה - חיבור וחיסור
6. חיבור וחיסור מספרים מעורבים
7. כפל וחילוק של שברים פשוטים
8. השלם וחלקיו
9. מציאת השלם מהחלק בשברים וב-%
10. היחס בין המרכיבים הכמותיים
11. יותר ופחות משלם
12. הכרת השבר העשרוני
13. חיבור וחיסור שבר עשרוני
14. כפל וחילוק שבר עשרוני
15. השבר העשרוני ואחוזים
הנדסה לתלמיד
הנדסה למורה
הנדסה - כיתות ד'
הנדסה - כיתות ה'
הנדסה - יחידות
הנדסה - חישובי שטחים









.תלמה גביש ז"ל יצרה את חומרי הלימוד עבור הלומדים והמלמדים. השימוש בחומרים מותר תוך ציון שם הַמְחַבֶּרֶת