דף הבית אודות תלמה גביש מאמרים סרטונים ביבליוגרפיה ספרים מומלצים צור קשר
הקשר בין חשיבה לידע בא לידי ביטוי בפעולת החילוק על כל היבטיה, מכאן תרומתה הגדולה של פעולת החילוק לפיתוח החשיבה. המאמר נכתב בלשון יחיד זכר מטעמי נוחות בלבד, מובן מאליו שהוא מכוון לשני המינים.

בעולם מתפתח כשלנו עלינו להקנות ללומד כלים שיעמדו לשימושו בעתיד. אין איש יודע מה יהיו חידושי העתיד ומשימתו של החינוך להכין את הפרט ואת החברה לקראת אותו עתיד בלתי ידוע לנו. כישורי חשיבה הם כלי מהותי, הניתן להקנייה כיום ויעמוד לצידו של הלומד בכל תנאי בעתיד. התכנים עשויים להשתנות, אבל היכולות שנַקְנֶה לאדם יאפשרו לו לרכוש ידע חדש, לבחון אותו, להשתמש בו ולייצר ידע נוסף . הקניית ידע בלבד, ללא פיתוח של חשיבה, תוביל לנוקשות ולאי יכולת להתמודד עם נושאים חדשים. חשיבות רבה לידע שרוכש התלמיד, אך ידע ללא כלי חשיבה סופו שאינו בר תועלת לשימוש עתידי. ברוב המקרים חלק גדול ממנו ישתכח. בתנאים המשתנים של עולמנו ידע מיושן ייוותר ללא שימוש ויותיר את בעליו ללא יכולת התמודדות עם חידושים ושינויים. הקניית כלי חשיבה תספק כלים להתמודדות במצבים חדשים. השולט בכלי חשיבה יוכל להחליט על דרכו גם במצבים בלתי צפויים. בסופו של דבר, היכולות הקוגניטיביות שהאדם רוכש יפתחו בפניו את הדרך ליצירתיות. ללא גמישות אין אפשרות להגיע אל החדש, להבינו ועוד יותר מכך לייצר ידע חדש – כלומר, להיות יצירתי. לעומת זאת, חשיבה ללא ידע כמוה כְּפָּסַל שיש לו רעיון על פֶּסֶל שהוא רוצה ליצור אלא, שבהעדר חומרים ומיומנות אין הוא מסוגל להוציא לפועל את הרעיון שהגה. הידע טוב למערכות קבועות – וודאיות, כלי החשיבה מספקים מענה לעיסוק במערכות לא-וודאיות. רק שילוב של ידע עם שליטה בכלי חשיבה ובמיומנויות יענה על דרישות החינוך בתקופתנו. נראה להלן שבתרגילים של החילוק הארוך ובהוראתם יש משום שני הפנים האלה של החינוך. הם תורמים לביסוס ידע קודם בכפל, בחיבור ובחיסור, ומפתחים פעילויות מנטליות רחבות היקף והשפעה. פיתרון בעיות מילוליות שנעשה על ידי תרגילי חילוק מצריך הפעלה של חשיבה מורכבת ומופשטת. השאלה שנותרה היא האם תירגול של תרגילי חילוק רב-סיפרתיים תורם אף הוא לפיתוח החשיבה? יצירתיות ואלגוריתם יש גישות של חקר הטוענות שאין צורך ללמד את הילד אלגוריתם בכפל ובחילוק. יש לעורר אותו ליצירתיות ולחיפוש דרכים אחדות לפיתרונות של תרגילים. לפי הגישות האלה, מתן ביטוי ליצירתיות של הילד יתרום להתפתחותו וילמד אותו לייצר מידע חדש בכוח עצמו. כדאי להבהיר את מהות המושג : יצירתיות. יצירתיות היא שימוש בלתי שיגרתי בידע קיים. פירוק של תבניות קיימות ושימוש בלתי צפוי במרכיביהן ליצירת תבניות חדשות. שוגים אלה הסבורים שהוראת האלגוריתם נמצאת בקוטב המנוגד ליצירתיות, ולא היא. אפשר ללמד את האלגוריתם בדרך שתפתח את היצירתיות ותתרום להבנה ולהפנמה של החוקיות המתימטית ולשימוש באלגוריתם כנקודת מוצא לחיפוש דרכים נוספות לפיתרון. המתימטיקה היא מקצוע שהלכידות שלו היא חלק ממאפייניו המובהקים. כל פרק בו כרוך וקשור בפרק אחר, על כל תהליך של חשיבה בו נארג אשכול של מסקנות ושל פעולות המאששות זו את זו. תלמיד שלא ילמד את האלגוריתם בכפל ובחילוק ייצא מפסיד משני הכיוונים: הוא לא יוכל לפתח יצירתיות של אמת, הבנוייה על גבי ידע שרכשו אבות אבות אבותיו, והוא עלול להפסיד את המיפגש עם התכונה הקוהורנטית של המתימטיקה שכבר הפכה להיות חלק מנכסי צאן ברזל של התרבות האנושית. הוא יהיה כאותו אוטודידקט שידיעותיו מלוקטות מפה ומשם , אך מפעם לפעם נחשפים "חורים" בהשכלתו. מי שלא למד את הפיתרון האלגוריתמי משול לממציא הגלגל במאה ה – 21. משמע, שב ויוצר פעם נוספת את הקיים ממילא, מבלי שחידש מאומה. אנרגייה רבה תאבד בחיפוש דרכים אלטרנטיביות לפיתרון בעייה שכבר נפתרה. מוטב להשקיע תחילה במסירת פתרונות שיצרה התרבות האנושית בהצלחה ואחר כך לחפש פיתרונות נוספים, חדשניים. יצירתיות בכל תחום מבוססת על ידע, הבנה וחדשנות ואינה מושתתת על בורות. יש להיזהר בשימוש במושג: יצירתיות. גדולי האנשים היצירתיים בעולם שלטו היטב בידע האנושי שקדם להם. פיקאסו ידע היטב את תורות הצבעים והצורות ואיינשטיין לא היה מגיע להישגיו אילולא ידע משמעותה של נוסחא מתימטית. ידע בעל ערך מצוי בידי האנושות. כאשר הידע אינו מועבר לדור הבא ובמקומו נדרש התלמיד לייצר ידע "חדש", גדלים אנשים שטחיים, שהידע שלהם אינו מושלם ובסופו של דבר גם לא יהיו יצירתיים. מטעמים אלה נטפל ביתרונותיו של החילוק הארוך על בסיס האלגוריתם המסורתי. תירגול של חילוק ארוך ותרומתו לחשיבה תרגול פיתרון של חילוק ארוך, מצריך שימוש בתהליכי חשיבה מורכבים, המעמיקים את ההבנה המתימטית ותורמים לפיתוח הקוגניטיבי הכללי. תרומתו של החילוק הארוך לפיתוח היכולת להתמצא במרחב בחיבור ובחיסור הפיתרון מתחיל בימין ומתקדם לשמאל. לדוגמא, בתרגיל הבא: כדי לפתור את תרגיל החיסור אנחנו מנסים להחסיר 6 אחדות מאחדה אחת. איננו יכולים לעשות זאת, לכן אנחנו מארגנים אחרת את המיספר ופורטים את העשרות. לוקחים עשרת אחת וממירים אותה ל – 10 אחדות המצטרפות לאחדה שבמחוסר. פעולה כזאת של פריטה מצריכה כיוון מסויים. גם בחיבור פעולת ההמרה מצריכה אותו כיוון. לדוגמא, התרגיל: חיבור האחדות נותן לנו 14 אחדות שיש לארגנן במיבנה העשרוני, לכן אנחנו ממירים 10 אחדות בעשרת אחת. כדי לבצע את פעולת ההמרה עלינו לפעול מימין לשמאל. גם בכפל אנחנו פועלים באותו כיוון. למשל בתרגיל: אנחנו מתחילים בסיפרת האחדות גם בכופל, גם בניכפל וגם בחיבור המכפלות החלקיות של 336 אחדות ושל 96 העשרות. רק בחילוק כיוון הפעולה הוא משמאל לימין. כדי שהלומד יבין את זה עליו לעשות פעילות מנטלית של הבדלה ולהפעיל את הכושר שלו להתמצאות במרחב. בלי השילוב של שני אלה הוא לא יוכל לפתור את התרגיל: ארגון התרגיל דורש אף הוא התמצאות במרחב. יש לארגן את המאות מתחת למאות, את העשרות מתחת לעשרות ואת האחדות מתחת לאחדות. תלמיד שסובל מהיעדר או ליקוי בהתמצאות במרחב, הנמצאת ברשימת הפונקציות הקוגניטיביות הפגומות שמונה פוירשטיין בשלב הקלט, יתקשה אפילו לגשת לתרגיל. לדוגמא: תלמידה בת 11 שאלה את מורתה שנתנה לה תרגיל חילוק מעין זה: מאיזה צד צריך להתחיל? תירגול חילוק ארוך יכול להשתלב בתיווך שמטרתו תקיפת הפונקצייה הקוגניטיבית הפגומה הזאת, תוך שמקבל התיווך מתרגל את הפיכות הכיוון ומודע לחשיבותו. אפילו אם הפותר יתעלם מהמשמעות של המיבנה העשרוני וייגש לפיתרון רק ברמה הטכנית שלו, כיוון הפעולה הוא תנאי הכרחי, אף כי לא מספיק, להצלחתו. תרגיל כזה יאפשר לתלמיד שאינו סובל מפונקצייה קוגניטיבית פגומה זו להפנים את הפעילות המרחבית ואת ההפיכות של כיוון הפעולה, ולהביא את הפעולות האלה לרמה של אוטומטיזצייה . הימנעות מהוראתם ותירגולם של תרגילים כאלה, עלולה להשאיר רושם שתמיד כיוון הפעולה בחשבון הוא מימין לשמאל. בזכות האוטומטיזצייה לאוטומטיזצייה תפקיד מכריע בתחושת המסוגלות והשליטה. לדוגמה, ידיעת הכפל מתרחשת בשתי רמות: האחת – הבנת משמעות הכפל. השנייה – שימוש בלוח הכפל ביעילות תוך ידיעתו בעל-פה. לאחר שלב ההבנה חייב להגיע שלב התירגול. גם תרגילי חיבור וחיסור נרכשים על ידי תירגול חוזר ונישנה. שכיחותם של תרגילים כאלה בחיי יומיום, כמו: בקניות ובעודף שאנו מקבלים, תורמת להפנמתם ולשליטה בהם. נוצר מעגל של תירגול שמוליך להעמקת הידע ולהפיכתו לאוטומטי. השליטה בידע מסייעת לשליפתו המהירה וזו גורמת לכך שאנחנו מחשבים במהירות כה רבה תרגילים כמו 4 + 8 עד שמרביתנו לא ניטרח לגשת למחשבון למציאת הפיתרון. כתוצאה מכך שליטתנו מתעמקת בידע וגם תחושת המיספרים מתבססת. החילוק הארוך מבוסס על ידע קודם. יש בו חזרה על כפל, חיבור וחיסור. הכפל – בשלבי הביקורת, החיסור – לבדיקת השארית, החיבור – בעת כפל לצורכי ביקורת. לעתים נדרש הפותר לכפול בעל-פה תרגילי כפל של מיספר חד-סיפרתי במיספר רב סיפרתי. עליו לכפול את סיפרת האחדות. אם המכפלה שמתקבלת מכילה עשרות, עליו להמיר את האחדות לעשרות ולחבר את מיספר העשרות לעשרות הנתונות. כלומר, לבצע תרגיל חיבור . לדוגמא, בתרגיל: = 76 : 6751 עליו לחלק 675 ב – 76 ולקבל 8 . לצורך ביקורת עליו לכפול את 76 ב – 8 . תהליך יעיל לביצוע הכפל, כדאי שייעשה בעל-פה : 8 כפול 6 שווה 48. ניכתוב 8 ניזכור 4. 8 כפול 7 הם 56, נחבר את ה - 4 ונקבל 60. כלומר, הכפל שביצענו לצורכי ביקורת נתן תוצאה: 608 . נחסיר את 608 מ - 675 ונקבל את השארית : 67. וכך הלאה. כל 4 פעולות החשבון נשזרות על תרגיל אחד. התלמיד מבחין שלידע קודם יש שימוש מיידי, לכן הידע הקודם מקבל משמעות נוספת. יש בתהליך הזה משום תיווך למשמעות שהוא מרכיב חשוב של התהליך התיווכי. השימוש בידע קודם מסייע להפנמתו, מחזק את תחושת המיספר ואת הרגשת המסוגלות. תלמיד הפותר תרגילי חילוק ארוך משפר את שליטתו בכל הפעולות האריתמטיות. הוא מסוגל להפנות אנרגייה לפיתרון בעיות מורכבות מבלי שמעצורים בחישובים חשבוניים ייעכבו אותו. התרומה של תרגילי חילוק ארוך להבנת המיבנה העשרוני התמצאות במרחב היא תנאי הכרחי אך לא מספיק. תלמיד יכול לדעת לפעול בכיוון הנכון ולהתחיל את החילוק מספרת המאות, מבלי להתייחס למיבנה העשרוני. תלמיד כזה עלול להיכשל בתרגיל המודגם . שגיאה נפוצה ומשמעותה לאחר שהתלמיד התגבר על כיווניות הפעולה, והבין את ייחודו של החילוק מיתר הפעולות האריתמטיות הפשוטות, עליו לדעת לפתור את התרגיל מבלי להיכשל בשגיאה הנפוצה המוצגת להלן. נתבונן בתרגיל: = 3 : 312 . תאור הפיתרון השגוי: 3 לחלק ל – 3 הם 1 . נבצע את הכפל המשמש לביקורת: 3 = 3X1 לא נותרה שארית. עכשיו עלינו לחלק את סיפרת העשרות, שהיא 1 , ב – 3 . יש האומרים : אי אפשר. זו אמירה שאינה מדויקת. בהחלט אפשר לחלק עשרת ל – 3 , אלא שאז ניוותר ללא עשרת שלמה, לכן במקום שנועד לציון העשרות חייבים לכתוב אפס. אנשים רבים פשוט זזים לסיפרה הבאה. השגיאה הנפוצה הזאת תביא לתוצאה הבאה: בדרך זו תשובתם תהיה : 14 . ניתוח הסיבות האפשריות לטעות תשובה זו תחשוף אי הבנה של המיבנה העשרוני ושל תפקיד האפס כמייצג סיפרה שאינה שלמה ו / או אי הפעלה של אומדן וביקורת עצמית ופגם בעבודה שיטתית . אי הבנה של המיבנה העשרוני אי אפשר להתעלם מהאפס בעודו נתון בתוך מיספר. תהיה זו פגיעה בנכונות המנה. משמעות האפס היא שאין במנה עשרות שלמות. יש הקוראים לאפס כזה : "שומר מקום", שכן אם הוא לא יימצא במקום הזה לא תשמור סיפרת העשרות על מקומה והמיספר שיתקבל יהיה בעל שתי ספרות בלבד. מהבחינה ההיסטורית אכן האפס בא לשמור על מיקום העשרות בתוך המיבנה העשרוני, אך מהבחינה הדידקטית לאפס הזה יש תפקיד ממש כמו לכל הספרות האחרות הבונות את המיספר והמציינות את כמות היחידות שאותן הן מונות. ה – 1 מונה את מיספר המאות, ה – 0 מונה את מיספר העשרות וה – 4 מונה את מיספר האחדות. ניסיתי להסביר לתלמידים את נושא האפס בשתי הדרכים שצויינו לעיל, לא מצאתי שההסבר של "שומר מקום" תרם לקידום התלמידים יותר מההסבר של כמות היחידות הנימנות ולהיפך. תרומת תרגילי החילוק הארוך לפיתוח הביקורת העצמית בתרגילי חילוק מהסוג האמור קיים תהליך של ביקורת עצמית בכל שלב ושלב. מובן, שניתן לבצעו ברמה הטכנית בלבד, מבלי שנקדיש תשומת-לב לעובדה שזו ביקורת עצמית. אני מחלק 12 ל – 3 ואחר כך אני כופל 3 ב – 4 ומקבל 12 והתוצאה מאשרת לי את המנה. בתרגיל שלפנינו יש עוד סוג של ביקורת שנעשית על ידי אומדן. התוצאה של חילוק 312 ל – 3 אינה יכולה להיות 14, זה פשוט לא הגיוני. קשה לפקח על פעולתו של המחשבון. כל יתרונו במהירותו. אנו סומכים עליו כאשר אנחנו מקבלים חשבון בחנות או בבנק ולפעמים אין לנו ברירה אלא לסמוך עליו בחישובים מסובכים הקשורים למחקר או לפעילויות מדעיות אחרות. תרומת תרגילי חילוק ארוך לפיתוח חוש לאומדן אם רוצים להכשיר אנשים לשימוש נאות במחשבון חייבים לפתח אצלם את החוש של האומדן. הביקורת המיידית על שגיאה שהתקבלה מהשימוש במחשבון יכולה להיעשות רק על ידי אומדן שנפעיל. תשובה לא הגיונית בעליל תביא אותנו לבחינה מחדש של כל התהליך. מכאן, שאם אנחנו רוצים להכין את חניכינו לשימוש עתידי נכון במחשבון יש להרגיל אותם לביקורת על ידי אומדן והערכה של התוצאה. חילוק של מאות באחדות, כמו בתרגיל 3 : 312 , אינו יכול להוביל לתשובה : 14. חלוקת 3 מאות ל – 3 חייבת להניב מנה שהיא בסדר גודל של מאה. תרגילי חילוק ארוך תורמים לעבודה שיטתית ולריסון האימפולסיביות פתירת תרגיל של חילוק ארוך דורש לפתח ולהשתמש בסדר קבוע: קודם - המאות, אחר כך – העשרות, אחר כך – האחדות. חריגה כלשהי מהחוקיות הזאת תפגום בעבודה השיטתית ותוביל לטעות. לכן, תרגול תרגילים מהסוג האמור תורם לריסון האימפולסיביות, כי על הפותר לפעול בשיטתיות, לא לדלג על אף שלב ולבחון את חישוביו בכל שלב. התרגיל ייראה כך: תרומתם של תרגילי חילוק ברמת מורכבות גבוהה יותר התרומה להבנת המיבנה העשרוני של המיספר נדגים את תרומתם של תרגילים אלו להבנה המתימטית ולחשיבה בכלל באמצעות התרגיל: רצוי לקרוא בקול רם את התרגיל. זוהי תיזכורת למיספרים הגדולים ולשמם. כמו השימוש בתרגילי חילוק ארוך לביסוס 4 פעולות החשבון, כך גם הקריאה בקול רם של התרגילים תורמת להעמקה של תפיסת המיספרים הגדולים. לאחר הקריאה בקול, מתבצעת עבודה שיטתית. 83 אינו מוכל ב – 7 . הוא אמנם מוכל ב – 700000 , למה, אם כן, אומרים שאי אפשר לחלק את ה – 7 ב – 83 ? כאשר התלמידים מגיעים לרעיון שאפשר לחלק 700000 ב – 83 , אבל לא נקבל מאות אלפים. מגיעים למסקנה שיש היגיון בכתיבת התרגיל. מעל ה – 7 שמציין מאות אלפים לא נכתוב כל סיפרה , כי אין לנו מאות אלפים. למעשה יש לנו אפס מאות אלפים, אלא שאפס שמצוי לפני מיספר – אינו ניכתב. כדאי להשוות את התרגיל האחרון עם תרגיל שבו במנה מופיע אפס בתוך המיספר. השוואה כזו מפתחת בלומד את הצורך לעריכת השוואה ספונטנית לפתירת בעיות. לאחר הניסיון לחלק את 7 ב – 83 , יש חזרה על אותו תהליך לגבי חילוק 72 ב – 83. 72 הם 72 עשרות אלפים חילוקם ב – 83 לא ייתן לנו עשרות אלפים, לכן מעל סיפרת עשרות האלפים לא ניכתוב דבר. זוהי חזרה על אותם החוקים המאפשרת תירגול והפנמה של החוקיות. תרומת תרגילי החילוק הארוך להבנת אחד מתפקידי האפס יש שיטות שמסמנות בִּמְקוֹם האפס שלפני המיספר את הסימן הבא: =. אפס זה מציין שחילוק 72 עשרות אלפים ב – 83 לא ייתן מנה שיש בה עשרות אלפים. הסימן = מסייע לנו בארגון פנימי שלנו, בבחינת תיזכורת שבדקנו עד שלב זה ומכאן עלינו להמשיך לסיפרה הבאה. באופן כזה, הוראה של התרגילים האלה מבססת את ההבנה של השיטה העשרונית ומעמיקה את החווייה של תפיסת המיספרים הגדולים. הכתיבה הזאת מציינת את העובדה שיש אפס מאות אלפים ואפס עשרות אלפים, יש בפעולה הזאת משום הצגה חזותית של המבנה העשרוני. כלומר: התלמיד לומד מהתהליך להיעזר במערכת ההתייחסות המתאימה כדי להציג מערכות יחסים: בתוך המיספר חייבים לציין את האפס, כי עצם מציאותו קובעת את המיספר. אפס שלפני המיספר אינו משפיע על המיספר, לכן מציינים אותו בסמל שונה. הסמל: " = " מאפשר עבודה שיטתית ומסייע לביקורת העצמית שמבטיחה שלא דילגנו על אף סיפרה. העמקת האומדן בתרגילי חילוק ארוכים בעלי רמת מורכבות גבוהה המשך הפיתרון: כך מגיעים לחלוקת 723 ב – 83. כדי שהתלמידים יבינו את התהליך הזה הם חייבים להעריך באומדן את סדר הגודל של התוצאה המתקבלת מחילוק 72 עשרות אלפים ב – 83. הם מפתחים חוש אומדן וחוזרים על המיבנה העשרוני, כי עליהם להבין שה – 7 אינו 7 אחדות אלא 7 מאות אלפים. אם מחלקים מאות אלפים במיספר שיש בו בערך 8 עשרות מקבלים מיספר בגודל של אלפים או עשרות אלפים. בתרגיל שלנו : אלפים. גם כאן יש מקום לפיתוח תחושת המיספרים הגדולים. כאשר מחלקים 70 עשרות אלפים ב – 80 נגיע לאלפים. אם היינו מחלקים את ה – 70 האלה במיספר קטן מ – 70 , למשל:ב - 30 היינו מקבלים עשרות אלפים. באותו אופן חילוק של כ – 70 עשרות אלפים ב- 80 לא ייתן מנה של עשרות אלפים. עכשיו הגיע תורם של האלפים . 723 מאות אלפים מחולקים ל – 8 עשרות יתנו תוצאה של אלפים בודדים. כדי לחלק 723 ב – 83 , כדאי להעריך כמה פעמים 83 מוכל ב – 723 . המיספרים גדולים ולכן כדאי לעגל אותם. מבחינה טכנית ניתן לוותר על האומדן על ידי עיגול המיספרים. את 723 נעגל ל – 720 את 83 ל – 80 . חילוק שניהם ב – 10 לא ישנה את היחס ביניהם . 723 לחלק ל – 83, שווה אם כך ל – 720 לחלק ל – 80, שווה אם כך לחילוק 72 ל – 8. 72 לחלק ל – 8 שווה 9. (הכנה לצימצום שברים) ביקורת עצמית, הודאה בטעות ותיקונה עיגול המיספרים לצורך אומדן - נוח ויעיל, אך הטכניקה של העיגול מוגבלת בהישגיה. חייבים בשיקול דעת נוסף. התלמיד לומד שלא כדאי לסמוך רק על אמצעי טכני, כמו האומדן, אלא שיש צורך גם להפעיל שיקול דעת נוסף. עלינו לבצע בשלב זה פעולה מדוייקת. נעשה זאת על ידי כפל של 83 ב – 9 . קל להבחין שעיגול המיספרים לא סייע בידינו די הצורך. אין לחשוש מכך. לא כדאי למחוק את התשובה. ההיפך הוא הנכון, ציון הטעות על ידי קו אלכסוני מלמד שביקורת עצמית הובילה לתיקון הטעות. זהו הישג חשוב. כדאי לבחון מה מקור השגיאה. עיגול של 723 ל – 720 מקטין את המיספר ב – 3 . עיגול 83 ל – 80 מקטין את המיספר ב – 3 , כביכול המיספרים הוקטנו באותה מידה, אבל אין זה כך. כי ה – 3 של 83 מוכפל מיספר הפעמים על מנת שהמחולק יכיל אותו מיספר פעמים. הארה של פן אחד של מושג היחס התלמיד חש שההחסרה של אותו גודל משני המיספרים אינה שומרת על היחס בין המחלק למחולק. כך ניבנית תחושה ראשונית של היחס. תפיסת היחס כמבוסס על פעולת החילוק והכפל - מתעמקת. זו החווייה המטרימה בחשיבה של הבנת מושג היחס. תרגילי החילוק הארוך תורמים לתחושת המיספר, מבססים את ההבנה של יחסי ההכלה תהליך אומדן ושל מערכת היחסים בין המיספרים המעוגלים מתרחש תוך כדי הפיתרון של תרגילי החילוק. תהליך זה מחזק את התפיסה של יחסי הכלה בביטויים הכמותי. על הפותר להעריך כמה פעמים 83 מוכל בתוך 723 . פעילות מעין זו מחזקת את התפיסה של המיספרים הגדולים. ההתמצאות במרחב בתרגילי חילוק במיספרים גדולים אותם הכישורים המרחביים שהפעיל הפותר את התרגיל 3 : 312 מתעצמים על ידי העלייה ברמת המורכבות. על הלומד לדעת את כיוון הפעולה, להקפיד על הכתיבה המצמידה כל סיפרה למקומה המתאים. עליו לחזור ולהפעיל מיספר פעמים אותם העקרונות שנרכשו בתרגילים הפשוטים. הכנה להבנה של מושג המכנה המשותף הכתיבה הנכונה, המחייבת למעשה מכנה משותף, בונה את התהליך של ההעברה החזותית של מערכות היחסים. הפותר מציג את היחסים בין חלקי המיספר – הספרות בצורה מסודרת. אותן הפעולות הקוגניטיביות שהתלמיד הפעיל בתרגיל 3 : 315 הוא מפעיל כאן ביתר שאת. תרגילי החילוק הארוך תורמים, אם כן, להפנמה של כל פעולות החשבון וליצירת אוטומטיזצייה שלהם גם בתחום הפיתרון וגם בתחום ההבנה. התייחסות לשגיאות המשך הפיתרון: כאשר הפותר לומד ששימוש באמצעי טכני, כמו עיגול מיספרים, אינו מספיק דיו וחייבים בשיקול דעת נוסף, הוא לומד שאם אדם שוגה אין צורך להתבייש בכך, לכן אין טעם במחיקת הטעות: 9 . אדם ששוגה אחראי על תיקון שגיאותיו. דווקא ההשארה של הטעות עם התיקון שלה מצביעה על מסוגלות ושליטה בתהליך. בדיקת המקור לטעות הינו מנוף להבנה עמוקה של תהליכים. הביסוס של כיווניות הפעולה בעת הבדיקה של האומדן, יש לכפול את המנה, שהיא 9 , ב – 83 , רצוי שתלמיד שמבצע את הכפל הזה יעשה אותו בעל פה. עליו לכפול 3 ב – 9 לקבל 27 , לרשום את הסיפרה 7 ול"זכור" את ה – 2 , שאותם עליו לצרף למכפלה המתקבלת מהכפל של סיפרת העשרות. כיוון הפעולה בכפל הפוך לכיוון הפעולה בחילוק. באותו תרגיל עצמו חייב הפותר לפעול בשני הכיוונים: בחילוק משמאל לימין, בכפל ובחיסור של הביקורת מימין לשמאל. באופן כזה החישוב בעל-פה תורם לפיתוח התפיסה המרחבית. כאשר ממשיכים לפתור את התרגיל הזה חוזרים על התהליכים כל פעם ביחס לספרות אחרות . יש בפעילות הזאת משום חיזוק התחושה של יחסי ההפיכות הקיימים בין הכפל והחילוק. הכפל הפוך לחילוק ומשמש לביקורת עליו. בחילוק הארוך יש חזרה על הביקורת באמצעות הכפל. החזרה הזאת מעצימה את הבנת יחסי ההפיכות בין הפעולות. הגמשה וזיהוי טעות כבסיס לפיתוח עמדה ערכית התהליכים שצויינו תורמים, בנוסף על הפיתוח הקוגניטיבי, גם לאספקטים אחרים באישיותו של הפותר: שינוי הכיוון, הן מהבחינה המרחבית והן מבחינת אופי הפעולה, באותו תרגיל יוצר הגמשה. התרגיל ייראה כך: הלומד מתרגם כל הזמן את הספרות לכמויות . 59 הם אלפים. אם נוריד את ה – 7 של המאות ונירשום אותו מימינו של 59 , תעשה פעולה כפולה: 1. כפל ב – 10 . 2. חיבור ה – 7. אנחנו פורטים על ידי הוספת סיפרה ש"מורידים" מהמחולק. הוספת סיפרה מימין גורמת לשתי הפעולות האמורות ומבססת את ההבנה של המבנה העשרוני. הכנה לפיתרון בעיות אלגבריות בעיות מיספר תלמידים שעברו את התהליך הזה יוכלו לפתור בנקל את הבעייה האלגברית הבאה: נתון מיספר טבעי X , כתוב ביטוי אלגברי שייצג את המיספר שנקבל אם נכתוב מימינו של ה - X את הסיפרה 7 . תלמיד שעבר את התהליך בחשבון יענה מייד שהמיספר החדש הוא: 7 +10X , כי דרך החשיבה הזאת כבר מוכרת לו מהחשבון. השארית כמקור לביקורת, להבדלה וליצירת מוטיבצייה בשלב זה יש מקום לדיון על השארית ועל המיבנה שלה. יש שארית המתקבלת בתוך התרגיל ויש כזאת המתקבלת בסופו. השארית משמשת מדד להצלחת האומדן. יש 3 אפשרויות: א. אין שארית, כי המכפלה של המנה במחלק שווה למחולק, כמו בתרגיל : 3 :312 , כאשר מחלקים את ה – 3 ל – 3 מקבלים 1 ולא נשארת שארית. ב. השארית גדולה מידי, משמע ש – 83 יכול להיות מוכל יותר פעמים במחולק. (יחסי הכלה) ג. השארית קטנה מהמחלק והיא מצביעה על תהליך תקין של החילוק. בנוסף לעצם הביקורת שהשארית מאפשרת, היא תומכת בתהליך של ההכלה. אנחנו בוחנים אם המחלק מוכל במחולק מיספר הפעמים הנידרש. מעמד שונה יש לשארית שמיתקבלת בסיומו של התרגיל. סיום התרגיל וההתייחסות אל השארית הסופית מתעוררת שאלת ההתייחסות אל שארית בכלל: מהו אותו 31? לוותר עליו? להתעלם ממנו? לעגל את המנה? עד כמה הוא משפיע על כל התוצאה? איזו משמעות יכולה להיות לשארית בהקשר של בעייה שהתרגיל פותר? התלמיד לומד להבדיל בין הסוגים השונים של השאריות ולהשתמש בהן לצרכיו. כאן אפשר לעורר סקרנות שתשמש בסיס ליצירת מוטיבצייה פנימית ללימוד הפרקים הבאים. לאחר שהתלמידים מציעים גישות שונות לבעיית השארית, ניתן להבטיחם שיש שני פיתרונות בסיסיים לבעייה: האחד – בעזרת השבר הפשוט; השני – בעזרת השבר העשרוני, וששני הנושאים האלה יידונו בעתיד. נוצר אצל התלמיד צורך להכיר את הפיתרונות האפשריים. גם אם פותרים את התרגיל בלי להפעיל את התרגום לכמויות ולשיטה העשרונית - ההפעלה המרחבית, שיקול הדעת, האומדן, יחסי הכלה והביקורת העצמית חייבים ללוות את הפיתרון. פירוק משימה מסובכת למרכיביה מאפשר את הפיתרון הפרט לומד לטפל במשימה בעלת מורכבות גבוהה, לפרק אותה לתת-תהליכים ובדרך זו להתמודד איתה. פן נוסף של האפס שיחה על מעמדו של האפס בסוף המנה תאפשר סיכום של המיבנה העשרוני. ההבחנה בין האפס שלפני המיספר, האפס בתוך המיספר והאפס בסופו של המיספר מאירה את מעמדו המיוחד של האפס. האפס המשמש כסיפרה האחרונה במנה אינו ניתן להשמטה הוא דרוש לבניית המנה ממש כמו האפס שבתוך המיספר, כי הוא מציין את סיפרת האחדות. תרגילי חילוק ארוך סוללים את ההבנה לחילוק רב איבר ברב איבר באלגברה תלמיד שעבר את התהליך השיטתי של חילוק ארוך במיספרים טבעיים יבין טוב יותר את המיבנה של תרגיל אלגברי של חילוק רב-איבר ברב-איבר, את ההיגיון שעומד בבסיסו וגם את המשמעות המתימטית של התרגיל החשבוני. הפותר מפעיל את התרגיל האלגברי, לאחר שלמד היטב את התרגילים החשבוניים, הוא מפעיל חשיבה אנלוגית המשווה את החוקיות החשבונית לאלגברית. הוא מפתח הרגל לחיפוש קשרים לוגיים בין תופעות שלעיתים ניראות רחוקות זו מזו. נתבונן בתרגיל של חילוק רב האיבר ברב האיבר: ( ) בשלב ראשון נחפש כמה פעמים 2x מוכל ב – התשובה תהיה: 3x . נבדוק את התשובה על ידי כפל של 3x ב - , התשובה תהיה: נחסיר את מכפלת הביקורת הזאת מהמחולק: נקבל הפרש: התרגיל עד שלב זה ייראה כך: נחלק את השארית במחלק ונקבל a - . נערוך את הביקורת על ידי כפל של a – במחלק. נקבל את התרגיל : זוהי הכללה אלגברית של החילוק הארוך בחשבון. התרגילים האלגבריים שעוסקים בחילוק רב-איבר ברב-איבר שימושיים מאוד בטיפול בשברים אלגבריים. לכן, הוראת האלגוריתם בחילוק מעלה את רמת היעילות בטיפול בשברים אלגבריים. התיווך בעת הוראת תרגילי החילוק הארוך המורכבות של החילוק הארוך, החזרה על פעולות אריתמטיות רבות, הצורך באומדנים מורכבים, ההפעלה של שיקולי דעת וביקורת עצמית, הפנמת המבנה העשרוני וההתייחסות לאפס כמרכיב חשוב בבניית המיספר – כל אלה מחייבית תהליך תיווכי מעמיק . כוונה והדדיות: פוירשטיין מעמיד את הכוונה וההדדיות בראש רשימת הקריטריונים הקובעים את עצם הימצאותו של התהליך התיווכי. כדי שהמורה ילמד את התרגילים האלה הוא זקוק להכרה בחשיבותם ולאורך רוח בעת הקנייתם. אין ספק שכל קושי שהיה לתלמיד כלשהו באחת הפעולות הכלולות בתירגול החילוק ייחשף בעת פתירת התרגילים האלה. ייתכן אפילו מצב שבו תלמידים תיפקדו יפה עד לשלב הזה ורק המורכבות של תרגילי החילוק מעלה על פני השטח קשיים סמויים, שגם המורה וגם התלמיד לא היו מודעים להם. המורה הקשוב לתגובות תלמידיו ולמשמעותן יוכל לכוון את הוראתו ואפילו את בחירת סוג התרגילים לפי צרכי התלמידים. למשל, תלמידים המתקשים במשימות מורכבות לא יתחילו את התירגול בתרגילים המכילים מיספר בעיות, כמו: גם בעיית האפס, כמו בתרגיל 3 : 312, וגם תרגילים שהאפס נמצא בסוף המנה. רק לאחר שהתלמידים יתגברו על קושי אחד בנפרד, ולאחריו על הקושי השני, אפשר יהיה לשלב את שני הקשיים בתרגיל אחד. טרנסצנדנטיות: הכנתו של מקבל התיווך להתמודדות עם משימות בעתיד באה לידי ביטוי בהוראת תרגילי החילוק הארוך ללא מחשבון גם בתחום המתימטי וגם מחוצה לו. בתחום המתימטי, כפי שהראינו, התלמיד רוכש עקרונות שיוכל להיסמך עליהם בעת הלימוד של חילוק רב-איבר ברב-איבר ובהבנה של תהליכי הכללה. המורה והתלמידים חייבים להבין שלתירגול החילוק הארוך יש מטרות שהן מעבר למתימטיקה. אין פותרים תרגילים כאלה רק כדי להגיע לתשובה הנכונה. התירגול מלמדנו כיצד להתמודד עם משימה מורכבת ומסובכת על ידי פירוקה למשימות קטנות ופיקוח על התוצאות בכל שלב ושלב. כך מתרחש תיווך להפעלה של התנהגות מתכננת ושל התנהגות מסכמת המחייבות ריסון האימפולסיביות. בעת התיווך התלמיד לומד גם לשאול מה העקרונות שבגללם אנחנו פותרים בדרך זו או אחרת. למשל, מדוע בשלוש הפעולות: חיבור, חיסור וכפל מתחילים בספרות הקטנות ורק בחילוק מתחילים דווקא בספרות הגדולות. התלמיד לומד לשאול שאלות לסיבות של תהליכים. סוג זה של התנהגות קוגניטיבית עשוי לסלול את הדרך ליצירתיות. באופן פרדוכסלי זיהוי הטעות ותיקונה הגלוי מקנה ביטחון ביכולת של הלומד. הוא גם מבין שהוא שולט בתרגיל וביקורת עצמית מראה רק על עוצמה פנימית. אדם יכול להיות יצירתי רק אם יש לו חוש חזק של ביקורת עצמית. יצירתיות ללא ביקורת עצמית עלולה ליהפך למשהו מגוחך הרחוק מיצירתיות של ממש. התרומה של המרכיב הזה של התיווך חורגת בהרבה מעבר למתימטיקה ויש לה השלכות על כלל אישיותו של מקבל התיווך. משמעות: אין ספק שתירגול חילוק ארוך מייגע. אך אין זו סיבה להציע ללומד מחשבון. תהליך נכון של תיווך מקנה לחילוק הארוך את משמעותו ויוצר אצל התלמיד הבנה של חשיבות התירגול הזה. מורה-מתווך יצביע על התרומה של כל שלב בפיתרון לחשיבה ועל החשיבות של השקעת אנרגייה בפיתרון. המודעות לחשיבות של הנושא מעוררת בילד מוטיבצייה להשקיע מאמצים כדי להשיג מטרה חשובה. פוירשטיין טוען ששלושת הקריטריונים: כוונה והדדיות, טרנסצנדנטיות ומשמעות הכרחיים לקיומו של תהליך תיווכי. יתר הקריטריונים הם תלויי מצב ותרבות. תרגילי החילוק הארוך מזמנים למורה-המתווך הפעלה של קריטריונים נוספים של התיווך באינטראקצייה שבינו לבין חניכו. תיווך למסוגלות: דווקא הקושי שמתעורר בעת התירגול וההתגברות עליו מאפשרים לעורר בחניך תחושה של מסוגלות, בבחינת: "התגברתי על הקושי. אני מסוגל. אני שולט בתהליך קשה ומורכב. משמע, שאני מסוגל להגיע להישגים". עם סיום פיתרון של תרגיל קשה מתעוררת הרגשה של סיפוק וגאווה. חיוך קל מצד המורה, לאור ההצלחה בהתמודדות עם תרגיל קשה, יכול לתרום לשיפור הדימוי העצמי יותר ממילים רבות. הצלחה במשימה קשה והסיפוק שנגרם בעקבותיה מחבבים את המקצוע על לומדיו. תיווך לחיפוש אחר אתגרים: אפשר להפוך משימה מייגעת למשימה שיש בה אתגרים. למשל, להורות לתלמיד לערוך רשימה של כל השלבים הקשים בתרגיל כלשהו ושעליהם הוא התגבר. או לעודדו להמציא תרגיל של חילוק ארוך שיכיל בתוכו את כל הקשיים האפשריים שהתלמיד למד להתמודד איתם. ממשימה משעממת ומייגעת אפשר להפוך את התירגול למשימה של התמודדות והצלחה שבסופו של דבר תוביל לסיפוק ולהנאה. המֶסֶר שהחניך מקבל הוא: משימות קשות אינן בבחינת עונש. הן אתגר שכדאי להתמודד איתו. עצם ההתמודדות עם קושי היא מטרה בפני עצמה. הפרט חש כיצד דווקא קושי יכול להוות מקור לתנופה חדשה. פיתוח עמדה כזאת עשוייה להוביל ליצירתיות. תיווך להתנהגות משתפת: מחנך יכול לשתף את תלמידיו בלבטיו איך ללמד תרגילים כאלה, איזה תרגילים לבחור ולמה בכלל ללמד סוג כזה של תרגילים. הוא יכול לספר על חוויותיו, שאולי לא היו כל כך נעימות, כשהוא למד את החומר הזה ולבקש הצעות איך ללמד אותו בדרך מעניינת ומאתגרת. אין זה מקרה שדווקא חומר מתימטי מסובך, כמו תרגילי החילוק הארוך, מזמן מצבים המאפשרים תיווך. ההתמודדות עם הקושי מלמדת כיצד להתארגן כדי להתגבר על המעצורים. יש לזכור שגם לתירגול טכניקות יש יתרונות חינוכיים. הריכוז הנדרש כדי לבצע את המשימות בדייקנות מחנך למשמעת עצמית הנדרשת לכל פעילות של האדם. מי שחפץ בהכשרתו של אדם לחקר וליצירתיות, חייב לעבור בפרוזדור של הטכניקה. הקניית הרגלים אלה מצריכה השקעה בזמן ובהסברים מעמיקים . בשבחו ובגנותו של המחשבון שימוש במחשבון אינו תחליף לפיתוח חשיבה. המחשבון הוא כלי עזר ועל כן יש לראות בו אמצעי ולא מטרה. המטרה, כפי שהוצגה במאמר זה, הינה פיתוח כישורי חשיבה מתמטית וקוגניטיבית בסיוע תרגול שיטתי. רק משמושגת המטרה ניתן לעשות "קיצורי דרך" ולהקל על הלומד את מציאת הפתרונות. לאחר שהתלמידים יעברו את כל הדרך הארוכה של החילוק הארוך ולאחר שהבסיס החשיבתי ייבנה תוך שימוש בתהליכי התווך שהוזכרו, נוכל לתת להם מחשבונים שישתמשו בהם לרווחתם, ואף נדריך אותם כיצד להפיק מהם את מירב התועלת. שימוש בלתי מושכל במחשבון גורם נזקים. מה קורה לתלמיד המודרך להשתמש במחשבון בטרם הפנים את כל תהליכי החשיבה שנימנו לעיל? עצם הקלדת המיספרים נוטלת מהם את המשמעות שהם מייצגים. תלמיד עלול להקליד את המיספר 723791 כרצף חסר כל משמעות כמותית של הספרות: 1 , 9 , 7 , 3 , 2 , 7 . שימוש בטרם עת במחשבון גורם לחסך בהבנת המיספרים הגדולים. הקלדה של סימן החילוק ושל המחלק עלולה להתרחש באותה רמה של אי הבנה. סתם עוד מקש במחשבון. כדי להקנות משמעות לחילוק ולכל התהליכים הקוגניטיביים והאחרים שנימנו לעיל חייבים ללמוד היטב את העקרונות שעליהם מבוסס החילוק הארוך ולהבטיח את הפנמתם על ידי תירגול ממושך של תרגילים כאלה, עד שחוויית המיספר ופעולות החשבון הבסיסיות ייהפכו לחלק מתרבותו של הלומד. מניעת התהליך התיווכי שמתרחש כאשר התלמיד לומד ומתרגל את החילוק הארוך, על ידי הקדמת השימוש במחשבון, הוא דוגמא לקיפוח תרבותי. חניך שלא נחשף לתהליכים שתרבותו יכולה להציע לו נפגע ביכולתו לנצל את הפוטנציאל שלו, בנוסף לפגיעה הישירה והממוקדת בכישוריו המתימטיים. תלמיד שנמנעת ממנו החווייה התיווכית המתבקשת מהוראת החומר הזה יוצא מקופח. הידע העצום שהמין האנושי צובר מחייב שיקול דעת זהיר שיש לעדכנו מידי פעם, והחלטה מתחדשת ומשתנה על סדרי עדיפות בבחירת נושאי לימוד. כל שימוש בחידושים טכנולוגיים מבורך כאשר מבררים בתבונה את תרומתו ומגרעותיו ביחס למטרות הנבחרות. השימוש צריך להיות מתוזמן כהלכה כך שיוסיף ולא יגרע. התמודדות עם השאלות שמעוררים הטכנולוגיה וריבוי הידע מוליכה בהכרח לבחינה של מטרות החינוך בכלל ושל מטרות הוראת המתימטיקה בפרט. האם אנו מעונינים באנשים שיידעו להשתמש רק בידע קיים או שאנו מעונינים בכאלה שיוכלו להתמודד גם עם ידע עתידי – מתפתח ואף לייצר ידע חדש?

 
 

המתימטיקה כתרבות של חשיבה מטרות המתימטיקה. מאת: תלמה גביש, 2000
לשפה המתימטית תפקיד חשוב בתחומים רבים ובתרבויות רבות. קישורה של המתימטיקה לחיי יומיום מקנה לה משמעות ואמור לעורר בלומד מוטיבציה להבין את עקרונותיה. המשתמשים באתר מוזמנים לקרוא את ההסברים על מבנהו ועל הדרכים להפיק מהאתר את מירב התועלת.
תגובות: 0   צפיות: 42
שינוי מבני ומוטיבציה פנימית וחיצונית. מאת: תלמה גביש, 2000
שינוי מבני הוא מושג שמתאר שינוי עומק שמתרחש באדם ומשפיע על תחומים רבים באישיותו. כאשר אדם אינו זוכה לתיווך הולם בתרבותו הוא מקופח תרבות. לדוגמא: אדם שמחנכים אותו להשיג הישגים כלשהם רק כדי לצבור כוח כלשהו (למשל: להצליח בבחינה ולא לרכוש ידע והבנה) עלול להיות מקופח תרבות ולהיות מונע על ידי מוטיבציה חיצונית (הישגים למען הישגים בלבד) במקום על ידי מוטיבציה פנימית שקשורה לאישיותו (למשל: סקרנות ).
תגובות: 0   צפיות: 75
שימוש מושכל ברמזי לשון בעת פתרון בעיות במספרים טבעיים . מאת: תלמה גביש, 2003
כדי לפתור בעיות מתימטיות צריך להבין את המשמעות של היחסים המבוטאים במילים ולדעת לתרגמם לשפה מתימטית. מצד אחד יכולים רמזי לשון לסייע לפותר מצד שני דווקא הם עלולים להכשילו. רק הבנת כל מערכת היחסים הנתונה בבעייה מאפשרת פתרון נכון.
תגובות: 0   צפיות: 13
המתמטיקה כשפה - חשיבותם של מושגים לשוניים בבניית שפה. מאת: תלמה גביש
לפי הגישה האוריינית קיים קשר עמוק בין הלשון המדוברת והכתובה לבין ההבנה המתימטית. מקור מצבנו הירוד במתימטיקה הינו בגישה האנטי אוריינית שהשתלטה על מערכת החינוך המתימטי. נוכל לחזור להישגים שהיו לנו בעבר רק אם יחול שינוי מהותי בתפיסת ההוראה המתימטית ורק אם תטופח האוריינות המתימטית החל בחינוך היסודי וכלה בעל-יסודי.
תגובות: 0   צפיות: 3
 
ספר חשבון לתלמיד
ספר חשבון למורה
1. מספרים טבעיים
2. מובני השבר
3. המשמעות של חיבור וחיסור שברים
4. הרחבה וצמצום
5. צמצום והרחבה - חיבור וחיסור
6. חיבור וחיסור מספרים מעורבים
7. כפל וחילוק של שברים פשוטים
8. השלם וחלקיו
9. מציאת השלם מהחלק בשברים וב-%
10. היחס בין המרכיבים הכמותיים
11. יותר ופחות משלם
12. הכרת השבר העשרוני
13. חיבור וחיסור שבר עשרוני
14. כפל וחילוק שבר עשרוני
15. השבר העשרוני ואחוזים
הנדסה לתלמיד
הנדסה למורה
הנדסה - כיתות ד'
הנדסה - כיתות ה'
הנדסה - יחידות
הנדסה - חישובי שטחים









.תלמה גביש ז"ל יצרה את חומרי הלימוד עבור הלומדים והמלמדים. השימוש בחומרים מותר תוך ציון שם הַמְחַבֶּרֶת