דף הבית אודות תלמה גביש מאמרים סרטונים ביבליוגרפיה ספרים מומלצים צור קשר
חוק החילוף של הכפל חל רק על התוצאה ולא על התהליך. יש להבחין בין חילוק לחלקים שבו מחפשים כמה פריטים יש בכל קבוצה, לבין חילוק להכלה שבו מחפשים כמה קבוצות שוות גודל מוכלות (נכנסות) בקבוצה הכוללת.

אימו של יותם ביקשה ממנו להסביר כיצד הגיע לתוצאה הזאת. יותם ענה: " 8 פעמים 12 ". שאלה אימו: " אני חשבתי שיותר נכון לומר: 12 פעמים 8." מי משניהם צדק? הסבירו האם צדקה, כי מונים את הבולים ולא את העמודים. מונים כמה פעמים יש 8 בולים. עיקבו אחרי הדיון ביניהם, וקיבעו את עמדתכם. יותם: בכלל אין הבדל ביניהם. לפי חוק החילוף של הכפל 8X12 = 12X8 =96 המכפלה היא אותה מכפלה. אימו של יותם: לדעתי יש הבדל. בבעייה של הבולים היו 12 עמודים ובכל אחד מהם 8 בולים. אם אהפוך את הבעייה ואכתוב: באלבום יש 8 עמודים, בכל אחד מהם 12 בולים. כמה בולים באלבום? האם זה יהיה בדיוק אותו אלבום? הרי זה יהיה סוג אחר של ארגון הבולים וגם תהליך החשיבה שיוביל לפתרון יהיה שונה. יותם: זה יהיה 8 פעמים 12. מספר הבולים זהה בשני האלבומים. 8 פעמים 12 שווה בדיוק ל - 12 פעמים 8. אין הבדל במספר הבולים. אימו: אבל יש הבדל בסידור הפנימי. איזה אלבום היית מעדיף? זה שבכל עמוד יכיל 8 בולים, או זה שיכיל 12 בולים? יותם: הסידור בתוך האלבום יהיה שונה, אבל אני לא יכול לומר איזה הייתי מעדיף, זה תלוי בעוד דברים, כמו הנושא של הבולים. אימו: אתה מסכים שהסידור הפנימי באלבומים יהיה שונה? מה אנחנו לומדים מהוויכוח שבין יותם ואימו? 8X12 שווה ל – 12X8 מבחינת הכמות של הבולים, אבל לא מבחינת הסידור הפנימי שלהם. חוק החילוף של הכפל מתייחס למכפלה בלבד ולא לתהליך החשיבה. כאשר עוסקים בבעייה אי אפשר להתעלם מהתהליך שהביא לתוצאה. כאשר עוסקים בתרגילי כפל, ללא קשר לבעייה אין משמעות לסדר הכופלים. לכן, בתרגילים שנועדו לפתרון בעיות יש מקום לדבר על כופל וניכפל. בתרגילים שאינם קשורים לבעיות, אפשר לדבר על כופל בלבד ואין צורך להבחין בין כופל לניכפל. קוראים למרכיבי המכפלה: גורמים. לפניכם מספר משפטים . חלקם נכונים וחלקם מוטעים. רישמו ליד משפט נכון. רישמו X ליד משפט שגוי. נמקו ותנו דוגמא מספרית. 1. חוק החילוף של הכפל אינו מתייחס לתהליך החשיבה אלא רק לתוצאה הסופית של הכפל, המתארת כמות. 2. הנימוק: המכפלה מבטאת מספר שאינו תלוי בסדר הכופלים ואינו תלוי בהבחנה בין כופל לניכפל. דוגמא: בבעייה הבאה: היו 3 שולחנות לכל אחד מהם היו 4 רגליים, כמה רגליים היו לכל השולחנות? לעומת הבעייה: היו 4 שולחנות לכל אחד מהם 3 רגליים כמה רגליים לכולם? בשתי הבעיות הכמות הכוללת של רגלי השולחנות שווה, למרות העובדה שהמבנה של השולחנות ובעקבותיו זה של החשיבה שונה. בבעיות יש תהליכי חשיבה שונים, המובילים לאותו תרגיל – לאותו תוצר. על התרגיל חל חוק החילוף , בעוד שבבעייה יש הבדל במשמעות של סדר הכופלים. 3. 2.משמעותו של חוק החילוף של הכפל היא שאין הבדל בתוצאת הכפל כאשר משנים את סדר הכופלים. 4. דוגמא: 7X8 =8X7 =56 5. בחיבור קיים חוק החילוף של החיבור. 6. דוגמא: 9+57 =57+9 = 66 7. בחיסור יש מקבל פעולה – מחוסר, ומחסר – עושה הפעולה. דוגמא: בתרגיל 34 = 15 – 49 . מ – 49 מחסרים. הוא מקבל הפעולה. הוא המחוסר. מחסרים ממנו 15 – זה המחסר. 8. מבחינת תהליך החשיבה יש הבדל בין 4X5 ל – 5X4 , מבחינת התוצאה הכמותית אין הבדל ביניהם. התוצאה הכמותית בשני התרגילים זהה : 20 , אבל יש הבדל בין 5 פעמים 4 עפרונות ,שפירושו: 4עפרונות + 4עפרונות + 4עפרונות + 4עפרונות + 4עפרונות , לבין 4 פעמים 5 עפרונות, שפירושו: 5 עפרונות + 5 עפרונות + 5 עפרונות + 5 עפרונות. 9. חוק החילוף חל גם על חיסור. X דוגמא: 5-7 ≠ 5 - 7 10. כדי להבין את משמעות הכפל, כדאי להבחין בעת פתרון בעיות בין כופל לניכפל. דוגמא: 7 פעמים 2 ילדים , 2 הילדים הם הניכפל, כי מחפשים כמה ילדים יש בסך הכל, אותם כופלים, לכן הם מקבלי הפעולה והמספר שמונה אותם הוא הכופל את הילדים. 11. בבעייה הבאה אפשר להבחין בין הכופל והניכפל: בכל ארגז ניתן לארוז 15 ק"ג שזיפים. כמה ק"ג ניתן לארוז ב – 8 ארגזים מאותו סוג? הנימוק: בכל בעייה שיש בה כפל אפשר להבחין בין כופל לניכפל. הכופל הוא 8 , כי הוא מונה את מספר הק"ג של השזיפים. 15 הוא מקבל הפעולה – הניכפל. 9. בבעייה שבסעיף 8: 15 הוא הכופל ו – 8 הוא הניכפל. נמק. X אנחנו מחפשים כמה ק"ג שזיפים ניתן לארוז. 15 אינו מונה את מספר הפעמים של ק"ג השזיפים. הוא הניכפל. 10.בבעייה שבסעיף 8: 15 הוא הניכפל ו – 8 הוא הכופל. נמקו. 15 הוא הניכפל, כי מונים את מספר הק"ג של השזיפים. 11.בחיסור יש מחוסר ומחסר . לתוצאה קוראים הפרש. בתרגיל : 7 = 4 – 11 , 7 הוא ההפרש, 11 הוא המחוסר , כי מחסירים ממנו, 4 הוא המחסר כי אותו מורידים מהמחוסר. 12.בכפל יש ניכפל וכופל לתוצאה קוראים מכפלה. זה נכון לגבי כל תרגיל של כפל שמטרתו לפתור בעייה. דוגמא: בספר יש 138 עמודים, כמה עמודים יהיו ב – 9 ספרים מאותו סוג? 138 הוא הניכפל, כי אותו סופרים את כל העמודים בכל הספרים. הכופל הוא זה שֶמונֶה את מספר הפעמים , בדוגמא שלנו : 9 . תוצאת הכפל תהיה המכפלה. במקרה שלנו: 1242. 13.בתרגילי כפל שאינם קשורים לבעיות אין צורך להבחין בין ניכפל לכופל. בגלל חוק החילוף אין הבדל בין 6X7 ל – 7X6 . 14.בתרגילים של כפל שבהם אין טעם להבחין בין כופל לניכפל כדאי לקרוא גם לכופל וגם לניכפל באותו שם: גורם. דוגמא: הגורמים של 21 הם 3 ו – 7 . 15.לפרק מספר לגורמיו פירושו למצוא את המספרים שמכפלתם תיתן את המספר. דוגמא: הגורמים של 42 הם 6 ו – 7, וגם 21 ו – 2. 16.בחיבור קוראים לתוצאה: סכום. דוגמא: 17 = 8 + 9 . 17 הוא הסכום. 17.מכפלה של מספרים טבעיים תהיה אף היא מספר טבעי. 18. כל הפרש של מספרים טבעיים יהיה מספר טבעי. X בתרגיל: 14 - = 48 – 34 אנחנו מחסירים מספר גדול ממספר קטן ממנו ומקבלים מספר שלילי, שאינו טבעי. 19.כל סכום של מספרים טבעיים הוא מספר טבעי. 20. הגורמים של 56 הם 7 ו – 8 . אפשר לפרק את 56 גם ל – 2 ו – 28, או ל – 14 ו – 4. מ: אתם רואים שלמרות חוק החילוף של הכפל, שלמדתם בעבר, צריך לשים לב לסדר הכופלים גם בכפל. זה חשוב כדי להבין את המשמעות של הכפל ומהו התהליך שמוליך אותנו אל הכפל. התוצאה הסופית מאוד חשובה, אבל גם התהליך שהביא אליה חשוב. מ: עכשיו נחזור למגרש המשחקים של המספרים הטבעיים. האם מותר לנו לכפול בכל המגרש שלנו? ת: כן. אנחנו נישאר תמיד במגרש. מאחר שהכפל הוא חיבור מקוצר כשהמחוברים שווים, התוצאה תהיה גם כן מספר טבעי. ת: הכפל לא יוביל אותנו לסוג חדש של מספרים, כמו שקרה לנו כאשר החסרנו וראינו שלפעמים התוצאה היא במספרים שליליים, שאינם שייכים למספרים הטבעיים. ש: מי יכול לנסח את החוק בדבר כפל שני מספרים טבעיים? ת: מכפלה של מספרים טבעיים תהיה תמיד מספר טבעי. נרשום זאת בפלקט: מכפלה של מספרים טבעיים תהיה תמיד מספר טבעי. לאחר הדיון על הכפל הכיתה מגיעה למסקנה שסכום של מספרים טבעיים ומכפלה של מספרים טבעיים יהיו מספרים טבעיים, כלומר התוצאה של הכפל והחיבור תיתן תוצאה שתישאר במגרש המשחקים ששייך למספרים הטבעיים. מ: בדקנו את החיבור, את החיסור ואת הכפל. מה אתם חושבים שנעשה עכשיו? ת: נבדוק את החילוק. מ: בינתיים המציאו בבית 2 בעיות שצריך לפתור אותן באמצעות כפל. אחר כך נסחו אותן הבעיות כך שכדי לפותרן יש צורך בהחלפת סדר הכופלים. הערה חשובה: מאחר שהחילוק זו פעולה חשבונית שארבעה תהליכי חשיבה שונים מובילים אליה – מומלץ לקרוא את המאמרים : " על החילוק של המספרים הטבעיים" ו "תרומתם של תרגילי החילוק הארוך להתפתחות של הפרט" לפני שמלמדים את הנושא. 750 מתלמידי בית ספר יצאו לביקור בבית התפוצות. לצרכי הדרכה הם התפצלו לקבוצות של 25 תלמידים בכל קבוצה. לכמה קבוצות התפצלו? הפעולה שתוביל לפתרון היא חילוק . 750 הוא המחולק, כי הוא מקבל הפעולה. 25 הוא ה המחלק , כי הוא מבצע הפעולה. התוצאה הסופית היא המנה. המציאו בעייה שבה המחולק יהיה 96 והמחלק יהיה 8. מה תהיה המנה? מדוע חשוב לְכַנוֹת בְּשֵם את המחלק, המחולק והמנה? השיום ( = מתן השם ) עוזר לנו בתקשורת . אנחנו יכולים להבין טוב יותר אחד את השני, אפשר לדעת לְמה מתכוונים. זה גם עוזר לנו להבין, כי אנחנו יודעים להבחין טוב יותר בין מקבל את הפעולה – הסביל , לבין עושה הפעולה – הפעיל. כאשר יש שמות לדברים קל יותר לזכור אותם. זה יכול לעזור לנו בקריאת בעיות שבהן מופיעות המילים האלה. תיווך למשמעות הצעה למערך: ספר התלמיד סגור. הוא ישמש רק לסיכום ולבדיקת ההבנה. מ: הפעם אני אציע בעיות ואתם תנסו לבדוק אותן ולראות איך אנחנו חושבים כאשר אנחנו פותרים בעייה בחילוק. אחר כך נבדוק אם המנה המתקבלת מחילוק מספרים טבעיים היא תמיד מספר טבעי. אני מציגה לפניכם שתי בעיות. אני מבקשת שתפתרו אותן ואחר כך תשוו אותן. הבעיות נלקחו מספר התלמיד, אך מוצע להשתמש בספר התלמיד רק לסיכום ולביקורת. בעייה ראשונה: ליוסי היו 60 בולים. הוא חילק אותם שווה בשווה ל- 6 חברים. כמה קיבל כל חבר? בעייה שנייה: ליוסי היו 60 בולים. הוא חילק אותם שווה בשווה בין כל חבריו. כל חבר קיבל 6 בולים. כמה חברים יש ליוסי? למדנו איך משווים משחקים. באותו אופן ולפי אותם חוקים שלמדנו נוכל להשוות את שתי הבעיות שלפנינו. ת: בשתיהן יש פעולת חילוק. מ: כבר ראינו שאפילו אם הפעולה החשבונית היא אותה פעולה, יכול להיות הבדל בתהליך שהוביל אותנו לפעולה הזאת. כדאי לבדוק את זה גם כאן. ת: אמרת שבתהליך ההשוואה צריך להתייחס גם לשווה וגם לשונה. מצאתי את השווה: המספרים שווים, הפעולה היא חילוק והתוצאה המספרית שווה. מ: ומה שונה? ת: בשאלה הראשונה מחלקים בולים לילדים. בשאלה השנייה מחלקים בולים לבולים. מ: אני מבין איך אפשר לחלק בולים לילדים. הנה אני אקח 10 בולים ואחלק אותם לחמשת הילדים היושבים כאן ( מחלק ). זוהי פעולת חילוק. כמובן שאני מחלק שווה בשווה. אין בפעולת חילוק אפשרות לחלק לחלקים לא שווים. (אוסף את הבולים) עכשיו אני רוצה לחלק לפי הבעייה השנייה. איך אחלק את הבולים שבידי לבולים?? מה למעשה אני עושה? ת: אתה מחפש כמה פעמים קבוצות של 6 בולים נכנסות לתוך הקבוצה הכוללת של 60 הבולים. מ: ננסח זאת קצת אחרת. אני רוצה לבחון כמה פעמים הקבוצה של 60 הבולים מכילה בתוכה את הקבוצות בנות 6 הבולים. מספר הפעמים שהקבוצה הגדולה מכילה את הקבוצות הקטנות נותן את מספר החברים. עכשיו כבר נוכל לשיים את שתי הפעולות וגם להבין יותר טוב את שני הסוגים של תהליכי החשיבה. האם מישהו מכם מוכן לסכם את מה שלמדנו עד עכשיו? מ: ראינו שיש שני סוגים של חילוק. גם אם המספרים זהים, המחשבה שונה. בחילוק אחד אנחנו מחלקים ממש, בשני אנחנו מחפשים כמה פעמים הקבוצות שוות הגודל נכנסות לקבוצה הכוללת. מ: לבעייה מהסוג הראשון קוראים: חילוק לחלקים, לבעייה מהסוג השני קוראים חילוק להכלה. מ: למה חשוב לשיים את הבעיות? ת: יהיה לנו יותר קל לזכור את סוג הבעייה וגם נוכל למיין לאיזה סוג היא שייכת. מ: מה יתרום לנו המיון? ת: כאשר אנחנו יודעים לאיזה סוג שייכת הבעייה זה מוביל אותנו לפתרון. ת: זה יעזור לנו בתשובה הסופית, נדע מה הן היחידות. זה עוזר גם לביקורת. ת: המיון עוזר לי להבין. השיום עוזר לי לזכור. מ: כל התהליכים האלה ביחד יש להם שם אחד: הפנמה. טרנסצנדנטיות, משמעות, הדדיות כדי לחוש את ההבדל בחשיבה אני מציעה שכל אחד מכם ימציא 5 בעיות של חילוק לחלקים ו- 5 בעיות של חילוק להכלה. אחר כך יציג את הבעיות לפני הכיתה ויסביר כיצד הוא חשב ולמה הבעיות שייכות לקבוצה זו של החילוק או לקבוצה האחרת. אל תשכחו לציין מראש באיזה סוג של חילוק אתם עוסקים. בהצלחה לכולכם. לאחר כל התהליך המורה חייב בתוספת של הסבר לגבי הכינויים. ההסבר הזה יגיע לאחר שהילדים ילמדו את פעולת החילוק בשברים. זה יהיה מיפגש ראשוני שלהם עם חשבון המימדים המוסבר בזה: למעשה אם נטפל בחילוק מבחינת המימדים זה ייראה כך: 60 בולים לחלק ל – 6 חברים שווה ל – 10 בולים לילד. התהליך הזה חשוב ביותר כי הכינוי של המנה אינו: בולים, אלא: ילד/בולים כלומר, בולים לילד. וזו הכנה ליחידת המהירות שהיא קילומטר לשעה: שעה / ק"מ (קמ"ש). בחילוק להכלה אנחנו מחלקים בולים ל – ילד/בולים. חשבון מימדים מסביר את התהליך. בחישוב מימדים נהוג לציין את המימדים בסוגריים מרובעות. לכן , בחילוק לחלקים: בחילוק להכלה חישוב המימדים ייראה כך: כפל וחילוק שברים פשוטים הערה: חשבון המימדים אינו מתאים לתלמידים בשלב זה. מ: אנחנו רואים שאפשר להגיע לפעולת החילוק על ידי תהליכי חשיבה שונים. למעשה החילוק הוא עוד פעולה מחשבתית – הוא מבטא יחס. את זה למדתם בכפל, למשל, פי כמה 15 גדול מ – 3 . איזו פעולה צריך לעשות כדי שנדע את היחס בין 15 ל – 3 ? ת: חילוק. מ: נכון, חילוק מבטא גם יחס. מי עכשיו יכול לסכם את כל הידוע לנו על החילוק? ת: החילוק בחשבון אפשרי רק כאשר מחלקים לחלקים שווים. - לחילוק יש 3 משמעויות שונות: יש חילוק לחלקים, יש חילוק להכלה ויש חילוק שמבטא יחס. מ: במה אפשר להיעזר כדי לזהות את סוג הבעייה שלפנינו? ת: בכינויים. אם למחולק ולמחלק אותו כינוי – זהו חילוק להכלה. אם למחולק ולמחלק כינויים שונים – זהו חילוק לחלקים. מ: למה בחילוק להכלה חייב להיות אותו כינוי לאיברי הקבוצה הכוללת ולאיברי הקבוצות הכלולות? ת: בהכלה אנחנו בודקים כמה פעמים נכנסות תת-הקבוצות לקבוצה הכוללת. תת-הקבוצות בנויות מאותם האיברים של הקבוצה הכוללת, לכן יש להן אותו כינוי. מ: מישהו יכול לתת לנו דוגמא? ת: חילוק לחלקים: היו לי 40 מחברות. חילקתי אותן שווה בשווה ל – 8 חברים. כמה קיבל כל חבר? 5 מחברות = 8 חברים : 40 מחברות חילקנו מחברות לחברים – הכינויים שונים. חילוק להכלה: היו לי 30 ספרים. חילקתי אותם שווה בשווה בין חבריי, כל חבר קיבל 6 ספרים. לכמה חברים חילקתי את הספרים? 5 חברים = 6 ספרים : 30 ספרים חילקנו ספרים לספרים – הכינויים שווים. זהו חילוק להכלה. מ: יפה. עכשיו עלינו לחזור למגרש המשחקים. מה עלינו לבדוק? ת: עלינו לבדוק אם חוקי החילוק במספרים הטבעיים אפשריים בכל מגרש המשחקים. מ: איך נעשה זאת? ת: ננסה לבדוק מספר תרגילים . מ: הציעו תרגילים. מציעים. מ: בכל התרגילים שהצעתם המחולק גדול מהמחלק. בואו נראה מה קורה אם המחולק קטן מהמחלק. מי יכול להמציא בעייה חשבונית שבה מחלקים מספר קטן במספר גדול ממנו? ת: אי אפשר. תמיד מחלקים מספר גדול במספר קטן ממנו. מ: אני אספר לכם סיפור חשבוני שבו נחלק מספר קטן לגדול ממנו. קניתי 2 פיצות והיינו 3 אנשים. חילקנו בינינו את הפיצות שווה בשווה. כמה קיבל כל אחד מאיתנו? ת: 2 לחלק ל – 3. מ: הפעולה אמנם נכונה, אבל מה תהיה התשובה שלכם? ת: אין תשובה אחרת. מ: יש תשובה, אבל היא לא במגרש של המספרים הטבעיים. התשובה היא 2/3 כלומר : שני שלישים, כי 2 לחלק ל – 3 הוא 3 : 2 וזה בדיוק 2/3. הקו המפריד בין 2 ל – 3 מציין פעולת חילוק. הוא מזכיר לנו חיתוך, כמו החתך שמתקבל בעת שמחלקים עוגה. נכנסנו למגרש של המספרים השבורים. את זה נלמד השנה. עד עכשיו טיפלנו במספרים הטבעיים, שהם מספרים שלמים וחיוביים, עכשיו ראינו שיש מספרים נוספים והם: שברים פשוטים.

 
 
לכתבה הבאה בנושא:

למורה - חילוק
לחילוק יש 3 משמעויות. כדי להבין אותן מומלץ לקרוא את המאמרים על משמעויות החילוק לפני ההוראה. הצפייה בסרטון על החילוק תסייע להבנת הקשר בין הכפל והחילוק ותקל על ההקנייה של הפעולה. אפשר לקרוא את המאמרים ולצפות בסרטונים יחד עם התלמידים אחרי שמסיימים את הוראת החילוק. פעילות כזאת תכין את התלמידים ללימוד עצמאי ולסיכום מה שנרכש.
תגובות: 0   צפיות: 36
 
1. מספרים טבעיים

תגובות: 0
צפיות: 93
ספר חשבון לתלמיד
ספר חשבון למורה
1. מספרים טבעיים
2. מובני השבר
3. המשמעות של חיבור וחיסור שברים
4. הרחבה וצמצום
5. צמצום והרחבה - חיבור וחיסור
6. חיבור וחיסור מספרים מעורבים
7. כפל וחילוק של שברים פשוטים
8. השלם וחלקיו
9. מציאת השלם מהחלק בשברים וב-%
10. היחס בין המרכיבים הכמותיים
11. יותר ופחות משלם
12. הכרת השבר העשרוני
13. חיבור וחיסור שבר עשרוני
14. כפל וחילוק שבר עשרוני
15. השבר העשרוני ואחוזים
הנדסה לתלמיד
הנדסה למורה
הנדסה - כיתות ד'
הנדסה - כיתות ה'
הנדסה - יחידות
הנדסה - חישובי שטחים









.תלמה גביש ז"ל יצרה את חומרי הלימוד עבור הלומדים והמלמדים. השימוש בחומרים מותר תוך ציון שם הַמְחַבֶּרֶת